مباحث محاسباتی پی های سطحی

نشست یکی از مهمترین موضوع ها در طراحی یک پی می باشد که در کنار بحث ظرفیت باربری، مبنای اصلی انتخاب ابعاد مناسب برای یک پی سطحی است.

برای کنترل مناسب بودن نشست یک پی باید بتوانیم نشست آن را محاسبه کنیم. در این بحث قصد داریم تا نحوه محاسبه نشست آنی را به شما آموزش دهیم.

ابتدایی ترین رابطه برای محاسبه نشست آنی یک پی به صورت زیر است:

در مورد ضریب Ip (که گاهی آن را با Is هم نشان می دهند) باید بدانید که این ضریب تابع صلبیت پی و همچنین نسبت L/B های بزرگتر از 5 می تواند بیشتر از یک هم شود.

ملاحظه می کنید که عواملی همچون جنس خاک (با پارامترهای μs و Es)، ابعاد پی (B و L و البته Aپی و ضریب Ip که تابعی از آنها هستند)، بار وارد بر پی (P) و همچنین عمق قرار گیری پی، چگونه بر روی نشست آنی پی تاثیر می گذارند.

از دیگر روش های محاسبه نشست آنی ( که نسبت به روش اول متداول تر است) استفاده از ضریب عکس العمل بستر خاک می باشد که آن را با ks نشان می دهیم و مقدار آن برابر است با:

رابطه فوق نشان می دهد که ضریب عکس العمل بستر پی ها، تابعی از جنس خاک و ابعاد پی است به طوری که هر چه پی بزرگتر شود (B بیشتر شود)، ضریب ks پی کاهش خواهد یافت.

بر این اساس می توانیم نشست آنی یک پی را به صورت زیر نیز حساب کنیم:

در اینجا نیز اگر پی در عمق Df از خاک قرار گرفته باشد، مقدار q برابر می شود با:

مثال: یک پی مربعی منفرد با طول ضلع 4x4m در عمق 1m از سطح خاک اجرا شده است. وزن این پی نایز فرض شده و نیروی قائم ستون قرار گرفته در مرکز آن حدودا 72 تن می باشد. با توجه به اطلاعات داده شده در شکل:

الف) نشست الاستیک این پی چند cm است؟

ب) ضریب عکس العمل بستر خاک زیر این پی چند kg/cm3 می باشد؟

ج) اگر پی روی سطح خاک قرار می گرفت، نشست پی چند cm می شود؟

د) اگر بار وارد بر پی و ابعاد پی نصف شوند، نشست پی چند cm می شود؟

حل:

الف)

ب) توجه کنید که در اینجا چون Ip و μs2 – 1 بدون واحد هستند، باید واحدهای طولی Es و B شبیه هم باشند که ما در حل خود، واحد Es را kg/cm3 و واحد B را cm قرار داده ایم.

ج) در این حالت نشست پی به صورت زیر بدست می آید:

ملاحظه می کنید که با قرار دادن پی در عمق خاک، می توانیم میزان نشست پی را کاهش دهیم (پاسخ این قسمت را با قسمت الف مقایسه کنید)

د) در این حالت P=36 ton و B=2m است، بنابراین مقدار نشست برابر می شود با:

مثال: در صورتی که بتوان نشست الاستیک یک شالوده سطحی را از رابطه محاسبه کرد که در آن q فشار وارد بر خاک، B اندازه کوچکترین بعد شالوده، Es و μ پارامترهای الاستیک خاک و I ضریب تاثیر است، تعیین کنید یک شالوده سطحی با مساحت 2 متر مربع که فشار 100 کیلوپاسکال را به زمین منتقل می کند در کدام حالت بیشترین و در کدام حالت کمترین نشست را خواهد داشت؟ ضریب تاثیر برای کلیه شالوده ها یکسان فرض می شود.
1- بیشترین نشست را شالوده مستطیلی و کمترین نشست را شالوده مربعی خواهد داشت.

2- بیشترین نشست را شالوده دایره ای و کمترین نشست را شالوده مستطیلی خواهد داشت.

3- بیشترین نشست را شالوده مربعی و کمترین نشست را شالوده دایره ای خواهد داشت.

4- تمام شالوده ها به شکل های مختلف، نشست یکسانی دارند چون فشار آنها یکسان است.

حل: رابطه گفته شده در سوال را در نظر بگیرید. ملاحظه می کنید که به ازای مقادیر q، μ،Es، I یکسان برای انواع پی ها و خاک زیر آنها( که در این سوال چنین فرضی در نظر گرفته شده است)، ΔH رابطه مستقیمی با B (بعد کوچکتر پی) داشته و به همین علت هر شالوده ای که مقدار B کمتری داشته باشد، ΔH آن حداکثر خواهد بود. حال سه پی مربعی، دایرهای و مستطیلی را (که در گزینه ها مطرح شده اند) در نظر گرفته و به ازای مساحت یکسان 2 متر مربع، بعد کوچکتر آنها را می یابیم و با هم مقایسه می کنیم.

برای پی مستطیلی می توان ابعاد مختلفی در نظر گرفت. در این صورت می توان B3 (بعد کوچکتر پی) را کمتر از دو مقدار بدست آمده برای پی های مربعی و دایرهای لحاظ نمود. مثلا بگوییم:

به این ترتیب با مقایسه B1 و B2 و B3 خواهیم داشت:

بنابراین حداکثر نشست در پی دایره ای و حداقل آن در پی مستطیلی رخ می دهد و در نتیجه گزینه 2 صحیح است.

مثال: برای قاب بادبندی شده شکل زیر با اتصالات مفصلی، قرار است دو پی مجزای مربعی در زیر تکیه گاه های A و B طراحی شود. اگر پی ها بدون عمق مدفون باشند؛ نسبت نشست الاستیک پی B (با بعد 2 متر) به پی A (به بعد 1.5 متر) برابر کدام است؟

توجه: خاک زیر پی دارای مدول الاستیسیته E و ضریب پواسون v می باشد.

1- 0.75 2- 0.8 3- 1.33 4- 1.25

حل: با استفاده از روابط تعادل استاتیکی، عکس العمل های قائم تکیه گاهی A و B را می یابیم که در واقع نیروهای قائم وارد بر پی های A و B هستند.

حال نسبت نشست های الاستیک را با توجه به یکسان بودن μ و E و Ip به صورت زیر محاسبه می کنیم.

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

یادآوری: مقدار نشست مجاز انواع پی های سطحی در مبحث هفتم مقررات ملی ساختمان به صورت زیر ذکر شده است:

مثال: در نظر است که برای فونداسیون یک ساختمان با زیربنای 10x20m ، از 12 پی منفرد مربعی به طول ضلع 2.5 متر استفاده شود. آرایش پی ها به این صورت است که 4 پی در یک امتداد و 3 پی در جهت عرض ساختمان هستند. بار ستون وارد بر این نوع پی تقریبا یکسان بوده و برابر 400 تن می باشد. پی ها روی سطح خاک ماسه ای با مشخصات زیر قرار گرفته اند:

Ip=0.5 و μ=0.2 و Es=250 kg/cm2 و Υsoil=2 t/m2

کدام گزینه در خصوص نشست برای فونداسیون این ساختمان صحیح است؟

1- نشست پی ها متناسب بوده و در حد مجاز آیین نامه است. فقط باید از شناژ بین پی ها استفاده شود.

2- نشست پی ها مناسب نیست و یک راهکار آن است که از پی های نواری یکطرفه در جهت طولی ساختمان (شامل 3 نوار 20 متری با عرض 2 متر و ضریب تاثیر Ip=0.8) استفاده کنیم.

3- نشست پی ها نامناسب است و پیشنهاد می شود پی ها را در عمق یک متر از سطح زمین اجرا کنیم.

4- نشست پی ها بیش از حد مجاز است و بهتر است از پی گسترده استفاده شود (ضریب صلبیت پی گسترده را Ip=0.75 در نظر بگیرید)

حل:

ابتدا نشست هر یک از پی های ساختمان را در حالت منفرد حساب کرده و آن را با مقدار مجاز آیین نامه کنترل می کنیم:

از طرفی از جدول بالا نشست مجاز یک پی منفرد بر روی خاک ماسه ای برابر 25 میلی متر است. پس نشست موجود بیش از از نشست مجاز بوده و باید راهکارهای پیشنهاد شده در گزینه های 2 و 3 و 4 را بررسی کنیم.

راهکار گزینه 2:

با استفاده از پی های نواری یکطرفه، تنش در زیر هر پی نواری با مساحت 2×20 که 4 ستون روی آن قرار می گیرند، برابر می شود با:

با توجه به جدول بالا نشست مجاز پی های نواری یکطرفه در خاک های ماسه ای برابر 25 میلی متر است، در نتیجه این راهکار مناسب به نظر می رسد.

راهکار گزینه 3:

با اجرای پی های منفرد در عمق 1 متر از سطح زمین داریم:

با این راهکار باز هم نشست پی بیشتر از حد مجاز آیین نامه ( S=25 mm) است و این روش مناسب نیست.

راهکار گزینه 4:

اگر از پی گسترده استفاده کنیم، نشست پی برابر می شود با:

از طرفی در جدول بالا نشست مجاز پی گسترده روی خاک ماسه ای برابر 50 سانتی متر است. پس این راهکار نیز مناسب نمی باشد.

بنابراین پاسخ این تست گزینه 2 خواهد بود.

مثال: ضریب عکس العمل بستر خاک زیر پی به چه عواملی بستگی دارد؟

1- فقط تابع جنس خاک است. 2- فقط تابع ابعاد پی است.

3- تابع جنس خاک و ابعاد پی است. 4- تابع شدت بار وارد بر پی است.

حل:

گزینه 3 صحیح است.

مثال: قاب شکل زیر را در نظر بگیرید. در اثر بارهای وارد شده، پی های منفرد مربعی A و B با ابعاد 1x1m دچار نشست می شوند. خاک زیر پی ماسه ای است. حداکثر F چقدر باشد تا نشست های غیر یکنواخت در حد مجاز باقی بمانند؟ (وزن سازه و پی ها در نظر گرفته نمی شود، ضریب عکس العمل بستر خاک ks=0.1kg/cm3 است)

1- 3.5 2- 1.67 3- 1.3 4- 2.67

حل:

ابتدا از تحلیل قاب، نیروی وارد بر پی ها را می یابیم:

نشست غیر یکنواخت پی ها برابر است با:

با توجه به جدول نشست غیر یکنواخت پی های منفرد روی خاک ماسه ای برابر 20 میلی متر است بنابراین داریم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

نکته تکمیلی در مورد نشست پی ها: نشست آنی در همه خاک ها (رسی، ماسه ای و …) اتفاق می افتد. ولی اگر خاک زیر پی از جنس رس اشباع باشد، باید نشست تحکیم آن را نیز محاسبه کنیم.

تحکیم یک نشست طولانی مدت و زمان بر است که در اثر افزایش تنش موثر در خاک رس اشباع و خروج تدریجی مقداری آب از داخل خاک رس، به تدریج ایجاد می شود.

نشست تحکیم از روش های مختلفی بدست می آید، یکی از روابط ساده محاسبه نشست تحکیم خاک های رسی اشباع به صورت زیر است:

در رابطه فوق، .H ضخامت اولیه خاک رس اشباع زیر پی، Mv ضریب تراکم پذیری حجمی خاک رس اشباع و ‘Δσ اضافه تنش موثر ناشی از بارگذاری در خاک رس اشباع است که مقدار آن برای یک پی مستطیلی برابر است با:

Z فاصله عمق وسط خاک رس اشباع از کف پی و B و L ابعاد پی مستطیلی می باشند.

مثال: پی شکل زیر را در نظر بگیرید. فرض کنید خاک زیر پی رس اشباع با ضخامت 20 متر با مشخصات زیر باشد:

در این صورت نشست کل این پی چند cm خواهد بود؟

1- 12.1 2- 10.7 3- 9.2 4- 8.3

حل:

نشست کل پی شامل نشست های آنی و تحکیم است:

ابتدا نشست آنی پی را محاسبه می کنیم:

در ادامه نشست تحکیم پی را بدست می آوریم. همانطور که قبلا گفته شد باید در محاسبه نشست تحکیم 50 درصد بار زنده را لحاظ کنیم. همچنین با توجه به اینکه ضریب Mv داده شده است، داریم:

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

نتیجه گیری:

1- با مقایسه نشست های آنی و تحکیم بدست آمده در این سوال می بینیم که هنگامی که نشست تحکیم مطرح می شود، نشست های آنی خیلی کوچک بوده و گاهی اوقات از آنها صرف نظر می شود.

2- نشست بدست آمده برای این پی (9.2cm) از مقدار مجاز آن (5cm) خیلی بیشتر است. به همین علت هنگام مواجه شدن با لایه خاک رسی عمدتا سعی می کنیم از پی های گسترده استفاده کنیم چرا که نشست غیر مجاز آنها بیشتر بوده و تنش کمتری در خاک ایجاد می کنند.

خلاصه نکات مهم این بحث

1- در این بحث دیدیم که نشست آنی (که متداول ترین نشست در زیر پی های ساختمانی می باشد) به یکی از دو روش زیر قابل محاسبه است:

روش اول) اگر ضرایب Es (مدول الاستیسیته)، μ (ضریب پواسون) و Ip (ضریب تاثیر پی) داده شوند، از رابطه زیر استفاده می کنیم:

در این رابطه است که در آن ΣFy برآیند بارهای قائم وارد بر پی و Df عمق مدفون پی از سطح خاک می باشد. B نیز کوچکترین بعد پی است.

روش دوم: اگر ks (ضریب عکس العمل بستر پی) داده شود داریم:

در اینجا نیز q از همان رابطه گفته شده در روش اول بدست می آید.

2- در صورتی که در خاک زیر پی، یک لایه خاک رس اشباع داشته باشیم، باید نشست تحکیم پی را هم حساب کنیم که در این صورت بار زنده وارد بر پی با ضریب 0.5 لحاظ شود.

نحوه محاسبه تنش در خاک زیر پی

برای آنکه ببینیم ابعاد پی مناسب است یا خیر و اینکه تنش در زیر پی از حد مجاز و قابل قبول آیین نامه کوچکتر است یا نه، باید بتوانیم تنش ایجاد شده در خاک زیر پی را حساب کنیم.

محاسبه تنش در خاک زیر پی با شرایط بارگذاری وارد بر پی ارتباط مستقیم دارد. بسته به مقدار و محل بارهای وارد بر پی، یکی از دو حالت زیر می تواند اتفاق بیفتد:

1- بارگذاری بدون خروج از مرکزیت باشد. 2- بارگذاری با خروج از مرکزیت باشد.

اگر بارگذاری روی پی به گونه ای باشد که برآیند لنگر ناشی از بارها، حول محورهای اصلی پی( یعنی محورهای عبوری از مرکز سطح پی) مساوی صفر نشود، می گوییم بارگذاری روی پی دارای خروج از مرکزیت است.

در این حالت مقدار خروج از مرکزیت بارگذاری به صورت زیر بدست می آید:

در روابط فوق eb و el مقادیر خروج از مرکزیت بارگذاری نسبت به محورهای b و l (محورهای اصلی یک پی مستطیلی) هستند.

ΣMb و ΣMl هم برآیند لنگرها حول این محورها بوده و ΣFy نیز برآیند نیروی قائم وارد بر پی است که باید شامل وزن پی، وزن ستون و خاک روی پی نیز باشد.

حال اگر هر دو خروج از مرکزیت eb و el همزمان صفر شوند، می گوییم بارگذاری بدون خروج از مرکزیت بوده که در این صورت توزیع تنش در زیر پی (به شرط صلب بودن آن) یکنواخت خواهد بود، به طوری که داریم:

ولی اگر یکی و یا هر دو مقدار خروج از مرکزیت eb و el صفر نشوند، بارگذاری وارد بر پی دارای خروج از مرکزیت بوده و توزیع تنش در زیر پی غیر یکنواخت می شود.

در ادامه این بحث می خواهیم ببینیم در حالتی که توزیع تنش غیر یکنواخت است، چطور می توانیم تنش های طراحی پی را محاسبه کنیم. برای این کار ابتدا پی را با خروج از مرکزیت یک طرفه در نظر می گیریم، یعنی el=0 و eb≠0 است.

در این صورت برای یک پی مستطیلی صلب، بسته به مقدار خروج از مرکزیت eb (کم یا زیاد بودن آن) دو وضعیت زیر پیش می آید:

1- مقدار خروج از مرکزیت بارگذاری کم باشد، به طوری که eb≤B/6 شود، در این شرایط تمام خاک زیر پی تحت فشار باقی خواهد ماند و تنش ها به صورت زیر محاسبه می شوند:

2- مقدار خروج از مرکزیت بارگذاری زیاد باشد، به طوری که eb>B/6 شود. در این شرایط وجود لنگر خمشی و خروج از مرکزیت زیاد باعث می شود قسمتی از پی از خاک زیرش جدا شده و تنش تماسی بین آنها در آن قسمت صفر شود. در این حالت مقدار تنش ها به صورت زیر بدست می آیند:

همچنین طولی از پی که دارای تنش های مثبت و فشاری است، به صورت زیر بدست می آید:

توجه: در کلیه روابط فوق اگر خروج از مرکزیت به جای محور b، نسبت به محور l باشد، جای eb با el و B با L و *B با *L عوض می شود.

مثال: پی مربعی شکل زیر را در نظر بگیرید. برای بارگذاری داده شده و با صرف نظر کردن از وزن ستون، به سوالات زیر پاسخ دهید. (Υ=2.5t/m3)

الف) آیا توزیع تنش در خاک زیر پی یکنواخت است؟

ب) آیا پی به کشش می افتد؟

ج) مقادیر qmax، qmin و qave برای این پی را بدست آورید.

د) اگر ستون را 0.2 متر به راست جابه جا کنیم، مقادیر q ها را بیابید.

حل:

الف) همانطور که گفتیم برای تشخیص اینکه تنش در زیر پی یکنواخت است یا خیر، باید برآیند لنگرها حول محورهای اصلی پی را بیابیم. برای پی داده شده داریم:

از آنجا که برآیند لنگرها حول یکی از محورهای اصلی پی (محور b) صفر نشد، می گوییم بارگذاری وارد بر پی دارای خروج از مرکزیت است. در نتیجه توزیع تنش در زیر پی غیر یکنواخت خواهد شد.

توجه: چون از وضعیت بارگذاری نسبت به محور l (دیگر محور اصلی پی مستطیلی در این سوال) اطلاعی نداریم، فرض کنیم که خروج از مرکزیت نسبت به این محور صفر است (el=0)

ب) برای اینکه به این سوال که آیا پی به کشش می افتد یا خیر باید مقدار خروج از محوریت را بدست آورده و آن را با B/6 مقایسه کنیم. طبق توضیحات داده شده می نویسیم:

چون eb<B/6 است (0.5=3/6=B/6) پس پی به کشش نمی افتد.

ج) حال که در قسمت ب مشخص شد پی به کشش نمی افتد، می توانیم مقادیر تنش ها در زیر پی را با استفاده از فرمول های زیر بیابیم:

د) ابتدا شکل پی را در حالتی که ستون 0.2 متر به سمت راست جابه جا شده است، برای شما رسم می کنیم تا روند حل را به طور کامل درک کنید.

حال در ادامه مشابه با حل قسمت های الف و ب و ج روند زیر را طی می کنیم:

مرحله 1: مقدار برآیند لنگرها حول محور اصلی پی را بدست آورده و خروج از مرکزیت بارگذاری را محاسبه می کنیم:

مرحله 2: چون در مرحله 1 مشخص شد که بارگذاری خروج از مرکزیت دارد، توزیع تنش در زیر پی غیر یکنواخت می شود. حال برای اینکه ببینیم از کدام فرمول ها باید استفاده کنیم، ابتدا بررسی می کنیم که پی به کشش افتاده یا خیر:

مرحله 3: حال در این مرحله از فرمول های مربوط به حالت کشش افتادن پی استفاده کرده و خواهیم داشت:

مثال: یک پی گسترده مربعی شکل با وزن 10 هزار تن، بار 4 سیلو را تحمل می کند. وزن خالی هر یک از سیلوها 5 هزار تن و وزن بار درون آنها 10 هزار تن می باشد. اگر تنها سیلوهای واقع در یک امتداد (افقی یا عمودی) پر شده باشند، حداقل بعد پی چند متر باشد تا تنش تماسی در هیچ شرایطی صفر نشود؟

1- 20 2- 24 3- 30 4- 36

حل: فرض کنید فقط دو سیلوی سمت راست پر شوند، در این حالت بارگذاری روی پی به صورت زیر خواهد بود. برای آنکه تنش در زیر پی صفر شود باید eb≤B/6 باشد، به منظور تعیین حداقل مقدار بعد پی (B) کافیست خروج از مرکزیت eb را بیابیم.

حال اگر بخواهیم تمامی نقاط زیر پی تحت تنش فشاری باقی بمانند، در حالت مرزی باید داشته باشیم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: شالوده منفردی به ابعاد 2x2m باید بار محوری فشاری 40 تن را با احتساب وزن شالوده و خاک ری آن به همراه لنگر خمشی 18 تن-متر تحمل نماید، حداکثر تنش زیر شالوده چقدر است؟

1- 23.5 تن بر متر مربع 2- 10 3- 24.2 4- هیچکدام

حل:

ابتدا خروج از مرکزیت را حساب کرده و کنترل می کنیم که پی به کشش می افتد یا خیر:

در نتیجه حداکثر تنش در زیر پی برابر می شود با:

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

مثال: در شکل زیر در صورتی که P=1000kN و M=300kN.m و V=100kN و پی صلب فرض شود، مطلوبست تعیین حداکثر تنش موثر وارده به خاک زیر پی (کلیه ابعاد بر حسب متر می باشد)

1- 400kPa

2- 75

3- 615

4- 250

حل: ابتدا خروج از مرکزیت را محاسبه می کنیم:

چون خروج از مرکزیت صفر شده است، پس توزیع تنش در زیر پی یکنواخت می شود.

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: یک پی مستطیلی با ابعاد 3x10m مطابق شکل زیر مدنظر است. این پی بار قائم (ناشی از بارگذاری ثقلی) و لنگر انتهایی (ناشی از اتصال گیردار ستون به پی) را مطابق شکل به صورت بارهای بدون ضریب به خاک منتقل می کند. با توجه به جانمایی داده شده برای ستون ها، توزیع تنش در زیر پی به صورت کدام گزینه خواهد بود؟ ابعاد ستون ها 50x50cm بوده و وزن آنها در نیروی قائم ثقلی لحاظ شده است. برای سادگی در محاسبات از وزن پی صرف نظر کنید.

حل:

مرحله 1: ابتدا برآیند لنگرها و خروج از مرکزیت بارگذاری را حول محور اصلی پی محاسبه می کنیم:

در محاسبات فوق لنگرهای پادساعتگرد حول محور اصلی با علامت (+) و لنگرهای ساعتگرد با علامت (-) لحاظ شدند. چون حاصل مثبت بدست آمده است نتیجه می گیریم که برآیند کل لنگرهای وارد بر پی 140t.m و به صورت پادساعتگرد است.

مرحله 2: حال کنترل می کنیم که مقدار خروج از مرکزیت el، از 1/6 بعد پی در این جهت کمتر است یا خیر.

بنابراین تنش در تمام نقاط زیر پی به صورت فشاری است (پی به کشش نمی افتد)

مرحله 3: اکنون با استفاده از روابط زیر، تنش های حداقل و حداکثر در گوشه های پی را می یابیم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: یک پی مستطیلی با طول 2 متر و عرض 1 متر مطابق شکل تحت اثر بار قائم P و نیروی افقی H=0.2P قرار گرفته است. اگر بار قائم ستون P=200kN باشد، حداکثر تنش در زیر پی حدودا چند kPa خواهد بود؟ (در محاسبات خود از وزن پی و ستون صرف نظر کنید)

1- 200 2- 220 3- 180 4- 250

حل: طبق روند گفته شده، مراحل زیر را طی می کنیم:

مرحله 1: برآیند لنگرها حول محور اضلی (l) پی را محاسبه کرده و از آنجا خروج از مرکزیت بارگذاری را می یابیم:

مرحله 2: مقدار el را با L/6 پی مقایسه می کنیم تا ببینیم پی به کشش می افتد یا نه.

مرحله 3: در این شرایط (وقتی پی به کشش می افتد) حداکثر تنش در زیر پی از رابطه زیر بدست می آید:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: ابعاد شالوده منفرد برای کی جرثقیل برجی، براساس ترکیبات بار طراحی به روش تنش مجاز و با این فرض که در ترکیب کنترل کننده، تنش زیر پی در ضلع CD برابر با صفر و در ضلع AB برابر 250kPa باشد، 6.5×6.5×1.6 متر اعلام شده است. اگر در عمل ابعاد پی اجرا شده 7.5×7.5×1.6 متر باشد، تنش حداکثر زیر پی، تحت ترکیب بارگذاری کنترل کننده مورد نظر به کدامیک از گزینه های زیر نزدیکتر است؟ (ضریب بار مرده در ترکیب بحرانی مورد نظر برابر واحد و وزن مخصوص بتن 25kN/m2 فرض شده و از وزن خاک روی پی صرف نظر شود. توزیع تنش در زیر پی خطی و نیروی برشی در پای ستون های جرثقیل ناچیز فرض شود).

1- 288 کیلوپاسکال 2- 217 3- 185 4- 148

حل:

حل این سوال نسبت به تست های قبلی قدری متفاوت و البته طولانی تر است. زیر اطلاعات داده شده و خواسته مساله با تست های قبلی فرق دارد. اما با کمی دقت و یادگیری مفاهیم گفته شده، می توانید این تست را حل کنید.

در این سوال بارگذاری وارد بر پی داده نشده است و ما بایستی از مقادیر تنش داده شده در حالت اولیه، بارهای وارد بر پی را بیابیم. طبق توضیحات سوال در این حالت توزیع تنش در زیر پی به صورت شکل زیر بوده است. چون تمام خاک زیر پی تحت فشار است، می نویسیم:

محاسبات فوق نشان می دهد که نیروی محوری و لنگر وارد بر پی به ترتیب برابر P=3591kN و M= 5721kN.m بوده اند. حال در ادامه پی دوم با ابعاد 7.5×7.5m را در نظر گرفته و با قرار دادن P و M بدست آمده بر روی آن، حداکثر تنش ایجاد شده در این حالت را می یابیم (دقت کنید وزن پی با ابعاد جدید تغییر می یابد.)

مرحله 1: برآیند لنگرها و مقدار خروج از مرکزیت بارگذاری به صورت زیر بدست می آیند:

مرحله 2: مقدار eb2 را با 1/6 بعد پی در حالت دوم مقایسه می کنیم.

مرحله 3: حال مقدار تنش حداکثر در زیر پی را به صورت زیر می یابیم:

این سوال یکی از طولانی ترین تست های آزمون محاسبات در چند سال اخیر بوده است، البته به ندرت چنین سوالاتی در آزمون مطرح می شوند!

چند نکته تکمیلی در محاسبه تنش در زیر پی

نکته 1: یک پی مستطیلی را در نظر بگیرید که تحت خروج از مرکزیت محور دو طرفه باشد (el=0 و eb) محاسبه تنش ها در زیر پی بستگی به این دارد که به کشش می افتد یا خیر.

شرط به کشش افتادن پی مستطیلی تحت بارگذاری با خروج از مرکزیت دو طرفه به صورت زیر است:

در حالت اول که پی به کشش نمی افتد، برای پی شکل زیر می توانیم بنویسیم:

در رابطه آخر، اگر لنگرهای Mb و یا Ml نقطه مورد نظر را تحت فشار قرار دهند، جمله مربوط به آن با علامت مثبت و در غیر این صورت اگر Mb و یا Ml نقطه مورد نظر را دچار کشش کنند، جمله مربوط به آن با علامت منفی در رابطه اعمال می گردد، همچنین Ib و Il ممان اینرسی پی حول محور های b و l است.

در حالت دوم که پی به کشش می افتد، محاسبات تنش ها بسیار سخت می شود و برای محاسبه تنش ها به نرم افزارهای کامپیوتری نیاز داریم.

مثال: شکل زیر پی مربعی با ستون تکی بر روی آن را نشان می دهد که ستون نسبت به مرکز پی به اندازه 1m در هر جهت دارای خروج از مرکزیت است. اگر ستون فقط تحت اثر بار قائم باشد، ضمن صرف نظر کردن از وزن پی تعیین کنید B (عرض پی) چند متر باشد تا پی به کشش نیفتد؟

1- 12 2- 8 3- 10 4- 9

حل:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

مثال: اگر محل اثر منتجه نیروی فشاری (P) بر یک شالوده مربع شکل در نقطه ای به فاصله 1/12 ضلع مربع از دو محور تقارن (A) باشد، تنش در نقاط B و C به ترتیب عبارتند از:

حل:

این رابطه نشان می دهد که خروج از مرکزیت کم است و پی به کشش نمی افتد، بنابراین تنش در نقاط B و C به ترتیب زیر بدست می آید:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

نکته 2: اگر پی غیر مستطیلی باشد دیگر نمی توانیم از روابط گفته شده برای محاسبه تنش در این بحث استفاده کنیم. در این شرایط برای کنترل به کشش نیفتادن پی باید بنویسیم:

در یک حالت خاص، اگر پی دایروی باشد، شرط فوق به صورت زیر تبدیل می شود:

در رابطه فوق D قطر پی دایره ای است.

همچنین اگر پی به کشش نیفتد، مقدار تنش ها به صورت زیر بدست می آیند:

مثال: در یک شالوده منفرد دایره ای شکل و به قطر D، حداکثر مقدار خروج از مرکزیت بار محوری چقدر باید باشد، به طوری که تمامی سطح زیر پی تحت تنش فشاری قرار بگیرد؟

1- D/6

2- D/9

3- D/4

4- D/8

حل:

همانطور که گفتیم در یک پی دایره ای برای آنکه تمامی سطح زیر پی تحت تنش فشاری قرار گیرد باید داشته باشیم:

e≤D/8

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: پلان شکل زیر ابعاد یک پی منفرد به ضخامت 600 میلی متر را نشان می دهد. اگر در محاسبات از وزن پی صرف نظر شود، آنگاه مقدار a برحسب متر برای آنکه تنش در زیر پی تحت اثر نیروی محوری فشاری P (در موقعیت نشان داده شده)، یکنواخت باشد، به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟

1- 3√ 2- 2√ 3- 2 4- 3

حل: برای آنکه توزیع تنش در زیر پی یکنواخت باشد بایستی بار ستون به مرکز سطح پی وارد شده باشد تا هیچگونه لنگری حول مرکز پی ایجاد نشده باشد.

در ادامه محل مرکز سطح پی را به صورت زیر می یابیم:

مثال: یک پی ذوزنقه ای مطابق شکل زیر بار قائم بدون ضریب دو ستون را به خاک منتقل می کند. وزن پی برابر 300kN می باشد که باید در محاسبات به صورت بار مرده در نظر گرفته شود. حداکثر تنش در خاک زیر پی بدون در نظر گرفتن اثرات تمرکز تنش و با فرض صلب بودن پی و ماسه ای بودن خاک، چند kPa است؟ (راهنمایی: گشتاور دوم سطح ذوزنقه حول محور اصلی G نشان داده شده در شکل 124 متر مربع فرض شود.)

1- 66 2- 33 3- 75 4- قابل محاسبه نیست، زیرا پی به کشش می افتد.

حل:

ابتدا با محاسبه مقدار و علامت qmin، به کشش افتادن پی را محاسبه می کنیم:

چون علامت qmin مثبت بدست آمده است پس پی به کشش نمی افتد. در ادامه مقدار qmax را می یابیم:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

خلاصه نکات مهم این بحث

برای محاسبه تنش های حداکثر، متوسط و حداقل در زیر یک پی سطحی تحت بارگذاری با خروج از مرکزیت یکطرفه، کافیست یک روند سه مرحله ای را طی کنید.

مرحله 1: محاسبه برآیند لنگرها و خروج از مرکزیت بارگذاری نسبت به محور اصلی b ( و یا l)

در محاسبه ΣMb، لنگرهای ساعتگرد با هم و لنگرهای پادساعتگرد نیز با هم جمع می شوند و حاصل این دو از هم کم می شود. در محاسبه ΣFy نیز به وزن پی توجه کنید که در صورت امکان باید در نظر گرفته شده یا از رابطه W=Y*V محاسبه شود.

مرحله 2: کنترل eb (یا el) نسبت به 1/6 بعد پی و اینکه آیا پی به کشش می افتد یا نه.

مرحله 3: محاسبه تنش ها در زیر پی:

توجه کنید که اگر خروج از مرکزیت صفر باشد، آنگاه توزیع تنش در زیر پی یکنواخت می شود و داریم:

طراحی پی های سطحی (تعیین ابعاد پی)

در مباحث قبل با نحوه محاسبه تنش در زیر پی ها و همچنین با روابط محاسبه نشست پی آشنا شدید. در عمل برای طراحی یک پی سطحی بایستی به هر دو موضوع ظرفیت باربری نهایی خاک (گسیخته نشدن خاک) و همچنین نشست پی توجه داشته باشیم و آنها را به طور همزمان در طراحی خود لحاظ کنیم. در این بحث شما را با راهکار انجام این کار آشنا می کنیم.

فرض کنید ظرفیت باربری نهایی یک پی سطحی برابر qult باشد، اگر تنش در خاک زیر پی از این مقدار بیشتر شود، خاک گسیخته می شود. همانطور که در موضوع 1 از بخش اول این فصل دیدیم، برای یک پی سطحی qult از رابطه زیر بدست می آید:

یادآوری: در این رابطه c چسبندگی خاک، ‘q تنش موثر در عمق Df (عمق کف پی) و B عرض کوچکتر پی است. Nc و Nq و Ny هم ضرایب ظرفیت باربری پی می باشند که تابع جنس خاک هستند.

همچنین دیدیم که نشست آنی پی از رابطه زیر بدست می آید:

اگر در رابطه بالا Se را برابر مقدار مجاز آیین نامه ای آن مطابق جدول قرار دهیم و تنش q را بدست آوریم، این تنش خاص را با qs نشان می دهیم و آن را تنش نظیر نشست مجاز می نامیم.

یعین اگر مقدار تنش موجود زیر پی از qs بیشتر شود، قطعا نشست پی هم از مقدار مجاز آیین نامه ای آن بیشتر خواهد شد، بنابراین در یک جمع بندی می توانیم بگوییم:

حال می توانیم برای در نظر گرفتن هر دو موضوع ظرفیت باربری و نشست به طور همزمان، نتایج فوق را به صورت زیر با هم ترکیب کنیم:

مقدار سمت راست رابطه فوق را تنش مجاز خاک می نامیم و آن را با qa و qall نشان می دهیم.

نکته 1: مقدار تنش q در سمت چپ رابطه فوق به نوع خاک (دانه ای یا چسبنده) و همچنین نوع پی (صلب یا انعطاف پذیر) بستگی داشته و براساس جدول مبحث هفتم برابر تنش حداکثر (qmax) یا تنش متوسط (qave) در زیر پی قرار داده می شود.

نکته 2: یکی از آزمایش های میدانی (درجا) برای تعیین تنش مجاز خاک پروژه ( با در نظر گرفتن هر دو معیار ظرفیت باربری و نشست)، آزمایش بارگذاری صفحه (آزمایش PLT) می باشد.

در این آزمایش یک گودال در محل پروژه حفر می شود و یک صفحه فلزی (مربعی یا دایره ای) بر روی کف گودال قرار می گیرد. سپس توسط یک جک هیدرولیکی به صفحه نیرو وارد می شود و میزان نشست آن به ازای تنش های مختلف ثبت می شود.

در نهایت مقادیر این تنش ها و نشست ها بر روی یک نمودار به صورت زیر ترسیم می شود.

در مورد این نمودار داریم:

1- قله این نمودار، ظرفیت باربری نهایی پی را نشان می دهد.

2- با استفاده از نشست مجاز آیین نامه (Sall) و نمایش آن بر روی محور قائم نمودار، تنش نظیر نشست مجاز یعنی qs بدست می آید. حال می توانیم بنویسیم:

یادآوری: ضریب اطمینان ظرفیت باربری و همچنین نشست مجاز پی های سطحی بایستی مطابق با جداول زیر در نظر گرفته شود:

مثال: یک پی مستطیلی با ابعاد 2.5x4m بار محوری ستون ناشی از بارهای مرده و زنده برابر P را به خاک منتقل می کند، ضخامت پی 80 سانتی متر در نظر گرفته شده است. مطابق شکل پی در عمق 1 متر از سطح زمین اجرا شده و اطلاعات خاک زیر و اطراف پی مطابق شکل است. وزن مخصوص بتن 25kN/m3 است و از وزن ستون صرف نظر می کنیم. همچنین ظرفیت باربری پی را می توانید از رابطه ساده شده زیر بدست آوریم:

با در نظر گرفتن معیارهای ظرفیت مجاز باربری و نشست و با در نظر گرفتن ضریب بار مرده 0.6 برای وزن خاک و پی:

الف) تنش مجاز خاک چند kPa است؟

ب) حداکثر بار مجاز P قابل اعمال بر پی چند kN است؟

حل:

تنش مجاز خاک برابر است با:

برای بدست آوردن qs (تنش نظیر نشست مجاز) رابطه نشست آنی را بر حسب عکس العمل بستر خاک (ks) در نظر گرفته و به جای Se، از نشست مجاز استفاده می کنیم:

دقت کنید در این حالت چون خاک برداشته شده، مجددا روی پی ریخته شده است، نباید مقدار YDf را از q کم کنیم. همچنین ظرفیت باربری نهایی این پی برابر می شود با:

در نهایت با قرار دادن ضریب اطمینان FS=3 (با استفاده از جدول) خواهیم داشت:

ب) حداکثر بار مجاز قابل اعمال بر پی به صورت زیر بدست می آید:

مثال: عامل تعیین کننده ابعاد پی های سطحی (طول و عرض):

1- ظرفیت باربری پی است. 2- میزان نشست مجاز پی است.

3- برش پانچینگ بتن پی است. 4- مورد 1 و 2

حل:

همانطور که دیدیم مقاومت مجاز خاک زیر پی که از مقاومت خاک براساس نشست و مقاومت نهایی خاک بدست می آید، عامل تعیین کننده طول و عرض پی می باشد. برش پانچینگ بتن یا برش دو طرفه عامل تعیین کننده ضخامت شالوده است، بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: مقاومت مجاز خاک زیر پی ها:

1- به نوع خاک پی بستگی دارد و با ملاحظه نظری خاک می توان مقاومت مجاز خاک را تعیین نمود.

2- فقط به نوع خاک بستگی دارد و باید از نتایج آزمایش مکانیک خاک بدست آید.

3- به ابعاد پی بستگی ندارد.

4- به نوع خاک و عمق و ابعاد پی بستگی دارد.

حل:

مقاومت مجاز خاک زیر پی فقط تابع مشخصات خاک نیست و به عمق و ابعاد پی نیز بستگی دارد. یعنی مقاومت مجاز خاک زیر پی یک زمین مشخص بسته به ابعاد و عمق پی متفاوت است. گزینه 4 صحیح است.

مثال: منحنی تنش – نشست برای یک پی منفرد مربعی به ضلع 2 متر که بر روی ماسه قرار دارد مطابق شکل زیر می باشد. حداکثر بار مجاز وارد بر پی عبارت است از:

1- 400 کیلونیوتن 2- 1600 3- 3000 4- 1200

حل:

طبق مطالب گفته شده و به منظور گسیخته نشدن خاک زیر پی باید داشته باشیم:

برای محاسبه qv، ابتدا باید حداکثر نشست مجاز این پی (Sa) را مشخص کنیم. با مراجعه به جدول نشست های مجاز ملاحظه می کنیم که حداکثر نشست مجاز پی منفرد قرار گرفته بر روی خاک ماسه ای، Sa=25mm است.

حال با مراجعه به نمودار تنش – نشست داده شده در سوال، تنش متناظر با این نشست را (که همان qs) است قرائت می کنیم.

همچنین تنش متناظر با نقطه قرار گرفته در قله این نمودار (نقطه B)، همان qult است. پس qult=1.2MPa می باشد.

حال اگر طرح استاتیکی (غیر لرزه ای) این پی را در نظر بگیریم، ضریب اطمینان طرح باید FS=3 لحاظ شود و بدین ترتیب مقدار تنش تنش مجاز خاک (qult) بدست می آید.

در نهایت حداکثر نیروی قابل اعمال بر روی این پی برابر می شود با:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: منحنی نشست – تنش برای یک پی منفرد که در یک زمین رسی اجرا شده است، مطابق شکل زیر می باشد. اگر ابعاد پی 2x2m باشد، حداکثر نیروی محوری مجاز قابل اعمال بر این پی چند تن است؟

1- 120 2- 160 3- 240 4- 80

حل:

مثل تمرین قبل عمل کرده و می نویسیم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: محور ستون یک ساختمان در فاصله 0.6 متر زمین همسایه قرار داشته و فقط نیروی فشاری P (ناشی از ترکیبات بارگذاری به روش تنش های مجاز) را به شالوده وارد می کند. چنانچه شالوده زیر این ستون مربعی به ضلع a و تنش مجاز خاک زیر شالوده 200 کیلونیوتن بر متر مربع باشد، برای آنکه تماس هیچ نقطه ای از پی و خاک زیر آن قطع نشود. حداکثر مقدار P و a نظیر آن، به کدامیک از گزینه های زیر نزدیکتر خواهد بود؟ (براس سهولت از وزن شالوده صرف نظر کنید. خاک را دانه ای و شالوده را صلب فرض کنید.)

1- P=320 kN و a=1.2m

2- P=160 kN و a= 1.8 m

3- P=320 kN و a=2.4 m

4- P=650 kN و a=1.8 m

حل:

اولا باید خروج از مرکزیت بارگذاری از 1/6 بعد پی کمتر باشد، پس می نویسیم:

همچنین مطابق با جدول مبحث هفتم مقررات ملی ساختمان، در کنترل تنش ایجاد شده در زیر پی صلب واقع بر خاک دانه ای، باید تنش متوسط ایجاد شده در زیر پی از تنش مجاز خاک زیر پی کمتر باشد. پس داریم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: یک شالوده بتنی منفرد به صورت مربعی تحت تاثیر بار P ( ناشی از بارهای ثقلی) با خروج از مرکزیت e در یک امتداد قرار می گیرد. شالوده را صلب فرض کرده، P را برابر 440kN و e=0.6m در نظر بگیرید. تنش مجاز خاک را در گوشه پی 100kN/m2 منظور نموده و روش تنش مجاز را ملاک عمل قرار دهید. با رعایت اینکه قسمتی از پی تحت فشار صفر قرار گیرد (با رعایت شرایط مندرج در مقررات) حداقل ابعاد مورد نیاز پی به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟ (وزن شالوده در محاسبات صرف نظر شود)

1- 3.1×3.1 متر 2- 2.5×2.5 متر 3- 2.7×2.7 متر 4- 3.6×3.6 متر

حل:

اگر بخواهیم طبق آنچه در صورت سوال مطرح شده است (رعایت اینکه قسمتی از پی تحت فشار صفر قرار گیرد) مسئله را حل کنیم. باید بنویسیم:

با توجه به جدول آیین نامه خاک چسبنده در نظر می گیریم و پی صلب.

حال فرض می کنیم که طول x از پی تحت فشار صفر قرار بگیرد (مطابق شکل) در این صورت مقدار تنش حداکثر در زیر پی (qmax) به ترتیب زیر بدست می آید (بعد عمود بر صفحه پی با توجه به گزینه ها برابر L است).

حال رابطه بدست آمده برای qmax را در شرط ابتدای حل جایگذاری می کنیم:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

مثال: در یکی از ترکیبات بارهای طراحی به روش تنش های مجاز برای طراحی شالوده ( که ضریب بار مرده 0.6 است)، نیروی فشاری محوری لنگر خمشی و نیروی برشی پای ستون ( که به مرکز سطح پی وارد می شود) به ترتیب 100kN و 200 و 50 است. اگر ارتفاع شالوده منفرد این ستون 1000 میلی متر، عرض آن (عمود بر امتداد راستای برش) 3000 میلی متر، ظرفیت مجاز باربری 150 و وزن حجمی بتن شالوده 25 کیلونیوتن بر متر مکعب باشند، حداقل طول قابل قبول شالوده به کدامیک از گزینه های زیر نزدیکتر خواهد بود؟ برای سادگی محاسبات از فشارهای مقاوم و محرک خاک اطراف شالوده و کنترل لغزش پی صرف نظر کنید.

1- 3750 2- 3500 3- 4800 4- 3000

حل:

با توجه به اطلاعات سوال و معلوم نبودن نوع خام و نوع پی، در حالت محافظه کارانه بایستی تنش حداکثر در زیر پی از ظرفیت باربری مجاز تجاوز نکند. بنابراین می نویسیم:

برای تعیین qmax توجه داشته باشید که بارگذاری داده شده دارای خروج از مرکزیت است و مقدار آن برابر است با:

در رابطه فوق M و V و P به ترتیب لنگر، نیروی برش و نیروی محوری فشاری روی پی هستند. t و W نیز به ترتیب ضخامت و وزن پی آن می باشند.

با توجه به آنکه در زیر پی از المان های کششی و شمع استفاده نشده است، خروج از مرکزیت پی نباید از B/6 بزرگتر شود. پس می نویسیم:

حال مقدار qmax در زیر پی را می یابیم:

ملاحظه می کنید که به ازاء B=4800mm و eb<B/6 شده و qmax<qall=150kN/m2 می شود. بنابراین گزینه 3 صحیح است.

مثال: ظرفیت باربری مجاز یک پی مستطیلی صلب که روی یک لایه خاک ماسه ای اجرا شده است، qa=60kPa است. وزن مخصوص مصالح پی Y=25kN/m3 است. این پی بارهای افقی و قائم ستون را به خاک زیرش منتقل می کند. اگر عرض پی مطابق شکل حداکثر برابر 2500 میلی متر باشد، طول پی عمود بر صفحه شکل چند میلی متر در نظر گرفته شود تا تنش در زیر پی در حد قابل قبول باقی بماند؟ (از وزن پی صرف نظر شود و وزن پی با ضریب بار مرده 0.8 در محاسبات وارد شود)

1- 4 متر 2- 3 متر 3- 3.5 4- 5

حل:

ابتدا باید تعیین کنیم که با توجه به نوع پی و خاک زیرش و با مراجعه به جدلو، تنش متوسط باید مد نظر قرار گیرد یا تنش حداکثر. چون پی صلب و خاک زیر آن ماسه ای (دانه ای) است، باید بنویسیم:

بارگذاری وارد بر پی دارای خروج از مرکزیت است. حال برای محاسبه qave کنترل می کنیم که پی به کشش افتاده است یا نه. بدین منظور eb را با B/6 مقایسه می کنیم.

از نتیجه بدست آمده می توانیم بگوییم قطعا پی به کشش نمی افتد، زیرا L همواره عددی مثبت است.

با توجه به اینکه پی به کشش نمی افتد، تنش متوسط در زیر پی برابر می شود با:

در نهایت با جایگذاری qave در نامساوی ابتدای حل خواهیم داشت:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

یادآوری: در کنترل تنش های زیر پی باید توجه داشت که هیچ نقطه ای از پی نباید دچار کشش شود (حداقل تنش = 0) مگر آنکه آن بخش از کشش توسط المان هایی مثل شمع، ریز شمع یا مهاها تحمل شود. به همین دلیل بود که در حل این تست فوق، شرط به کشش نیافتادن پی را تشکیل دادیم.

مثال: در یک پروژه مسکونی، به ازای اجرای هر طبقه در حالت بارهای بهره برداری، تنشی معادل 2500kg/m2 به خاک وارد می شود. فونداسیون این سازه در عمق 3 متر از سطح زمین و به صورت نواری دو طرفه با عرض 2 متر می باشد. با فرض رفتار الاستیک خاک و برقرار بودن قانون هوک و با در نظر گرفتن توزیع یکنواخت تنش ها در زیر پی و اطلاعات داده شده در زیر پی، حداکثر چند طبقه از این سازه را می توان روی این خاک اجرا کرد تا نشست ها در حد مجاز باقی بماند؟

Es=150 kg/cm2 و Ip=1.4 و Y=1750 kg/m3 و μs=0.3 و e=0

1- 11 2- 12 3- 13 4- 14

حل:

چون فقط بحث نشست مطرح شده qall=qs بوده و با توجه به اینکه خروج از مرکزیت نداریم و توزیع تنش ها یکنواخت است، بایستی بنویسیم:

برای تعیین qs به ترتیب زیر عمل می کنیم:

بنابراین حداکثر تعداد طبقات مجاز ساختمان n=13 طبقه بوده و گزینه 3 صحیح است.

مثال: یک پی صلب دایره ای با ضخامت 60 سانتی متر و قطر D (مطابق شکل تحت بار خارج از مرکز یک ستون قرار گرفته است. ستون مذکور بار ثقلی قائم 40 تن را که ناشی از ترکیب بارهای بدون ضریب است) به پی منتقل می کند. حداقل قطر این پی چند متر باشد؟ (وزن مخصوص بتن 2.5t/m3 فرض شود. ظرفیت باربری مجاز خاک ماسه ای زیر پی 5t/m2 فرض می شود)

1- 4.25 2- 5.25 3- 6.25 4- 3.8

حل:

برای آنکه پی به کشش نیفتد باید داشته باشیم:

از طرفی برای آنکه تنش در زیر پی از حد مجاز گفته شده (qall=5t/m2) بیشتر نشود، با توجه به صلب بودن پی و ماسه ای بودن خاک زیر آن، باید توجه داشته باشیم:

حال اگر بخواهیم پی به کشش نیفتد و تنش آن از حد مجاز بیشتر نشود، کافیست قطر پی را لااقل برابر 5.25 در نظر بگیریم. بنابراین گزینه 2 صحیح است.

خلاصه نکات مهم این بحث

برای تعیین ابعاد یک پی سطحی معمولا دو معیار مهم زیر مطرح است:

1- کنترل ظرفیت باربری خاک زیر پی 2- کنترل نشست پی

به منظور انجام تواَمان این دو کنترل می نویسیم:

در این رابطه q تنش ایجاد شده در زیر پی است که بسته به نوع پی (صلب یا انعطاف پذیر) و خاک زیر آن (دانه ای یا چسبنده) باید برابر تنش متوسط qave و یا تنش حداکثر qmax ایجاد شده در زیر پی در نظر گرفته شود.

qs تنش نظیر نشست مجاز است که با استفاده از فرمول های نشست آنی و یا نمودار تنش نشست که در همین بحث با آن آشنا شدیم، به ازاء قرار دادن نشست مجاز در این فرمول ها یا نمودار بدست می آید. مقدار نشست مجاز براساس جدول زیر تعیین می شود:

همانطور که دیدید در اغلب سوالات آزمون نظام مهندسی، مقدار تنش مجاز خاک qall در صورت سوال داده می شود و نیازی به محاسبه آن نیست. در این سوالات کافیست تنش متوسط یا ماکزیمم را بدست آوریم و خواسته مساله را پاسخ دهیم.

بررسی لغزش افقی پی های سطحی

اگر یک پی تحت مولفه افقی نیرو از طرف سازه قرار بگیرد، باید موضوع لغزش نیز در این پی مطرح شود. در واقع نیروی V می خواهد پی را در جهت افقی جابه جا کند (بلغزاند).

هنگامی که یک پی تحت مولفه افقی بارگذاری قرار می گیرد، تنش های برشی در خاک زیر پی در مقابل لغزش پی مقاومت خواهند نمود. البته باید بدانید که این تنش ها در دو سطح افقی در زیر پی قابل محاسبه هستند.

1- سطح تماس بتن با خاک زیرش: در این سطح تنش برشی مقاوم براساس اصطکاک و چسبندگی بین بتن و خاک به صورت زیر محاسبه می شود:

در این رابطه δ زاویه اصطکاک بین بتن و خاک زیرش، tanδ ضریب اصطکاک بین آنها و ca تنش چسبیدگی بین بتن و خاک است. همچنین σv تنش عمودی وارد شده از پی بر خاک می باشد که برابر است با:

در رابطه فوق، N برآیند بارهای قائم وارد بر پی شامل نیروی ستون، وزن پی و … می باشد.

2- سطح تماس داخلی در خاک زیر پی: در این سطح تنش برشی مقاوم براساس اصطکاک و چسبندگی داخل خاک (دانه های خاک با هم) به صورت زیر محاسبه می شود:

در این رابطه c و Φ به ترتیب تنش چسبندگی و زاویه اصطکاک داخلی خاک زیر پی هستند.

از بین تنش های t1 و t2، تنشی را که کمتر باشد، در طراحی لغزش پی در نظر می گیریم. زیرا با رسیدن به آن تنش، پی دچار لغزش می شود. بر این اساس در نهایت نیروی مقاوم برشی در مقابل لغزش پی برابر می شود با:

تذکر: اگر در اطلاعات سوال فقط ضرایب ca و δ و یا c و Φ داده شوند، نیازی به محاسبه هر دو تنش t1 و t2 نیست و فقط t نظیر همان اطلاعات داده شده را می یابیم.

با محاسبه نیروی مقاوم در مقابل لغزش و نیروی افقی مسبب لغزش، می توانیم ضریب اطمینان پی در مقابل لغزش را به صورت زیر بدست آوریم:

همچنین می توانیم از مقایسه ضریب اطمینان بدست آمده با مقادیر آیین نامه ای، مناسب بودن ابعاد پی در مقابل لغزش را بررسی کنیم:

نکته: اگر پی در داخل خاک قرار گرفته باشد، در اثر نیروی افقی وارد بر پی، خاک قرار گرفته در یک طرف پی در حالت مقاوم قرار گرفته و نیروی Fp نیز به نیروهای مقاوم در مقابل لغزش اضافه می شود. همچنین خاک طرف دیگری در حالت محرک بوده و نیروی Fa نیز به نیروهای مسبب لغزشی اضافه خواهد شد.

مثال: یک پی مستطیلی بر روی یک خاک ماسه ای رس دار قرار گرفته است. ابعاد پی 3×1.5m و ضخامت آن 0.6 متر می باشند. نیروی ستون و بادبند متصل به این پی مطابق شکل هستند. در شرایطی که نیروی ستون Pc=120ton و نیروی بادبند PB=30ton هر دو به صورت فشاری باشند:

الف) نیروی برشی مقاوم در مقابل لغزش در زیر پی چند ton است؟ کدام سطح لغزش در زیر پی بحرانی تر است؟

ب) آیا پی تحت این بارگذاری مشکلی از نظر لغزش دارد؟

ج) اگر نیروی بادبند همین مقدار ولی به صورت کششی شود، یا پی از نظر آیین نامه مبحث هفتم در مقابل پدیده لغزش افقی قابل قبول است؟

حل:

الف) همانطور که گفتیم نیروی مقاوم برشی در کف پی در مقابل لغزش به صورت زیر بدست می آید:

پس نیروی مقاوم در مقایل لغزش برابر می شود با:

ب) برای آنکه پی از نظر لغزش مشکلی نداشته باشد، باید ضریب اطمینان لغزش پی پس از ضریب اطمینان آیین نامه که برابر 1.5 است، بیشترین باشد.

ج) در این شرایط مقدار σv تغییر کرده و برابر می شود با:

حال تنش های برشی t1 و t2 را بدست می آوریم:

در ادامه نیروی برشی مقاوم در مقایل لغزش را بدست می آوریم:

اکنون مشابه قسمت ب ضریب اطمینان لغزش را محاسبه می کنیم:

پس در این حالت نیز مشکل لغزش را نداریم.

مثال:نیروی فشاری قائم موثر طراحی وارد بر یک پی منفرد برابر 750kN و مولفه افقی بارهای طراحی وارد بر پی برابر 270kN است. اگر نیروی رانشی مقاوم خاک جلوی پی ناچیز باشد، حداقل زاویه اصطکاک بین سطح زیرین پی و خاک در شرایط زهشکی شده حدودا چند درجه باشد تا پی در برابر لغزش مشکلی نداشته باشد؟

1- 30 درجه 2- 20 درجه 3- 45 درجه 4- 15 درجه

حل:

برای آنکه لغزش رخ ندهد بایستی بنویسیم:

بنابرین گزینه 1 صحیح است.

مثال: پی مربع مطابق شکل زیر، علاوه بر بار قائم تحت تاثیر نیروی افقی معادل 200kN نیز قرار گرفته است. اگر زاویه اصطکاک و چسبندگی بین کف پی و خاک δ و ca فرض شوند. ضریب اطمینان پی در برابر لغزش چقدر است؟ tanδ=2/3tanΦ و tanΦ=0.45 و ca=2/3c و از وزن پی صرف نظر گردد.

1- 0.7 2- 1.4 3- 1.7 4- 2.7

حل:

ضریب اطمینان لغزش این پی به صورت زیر بدست می آید:

با توجه به اطلاعات صورت سوال داریم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: یک پی سطحی مربعی با ابعاد 2x2m روی سطح زمین ماسه ای رس دار قرار دارد. ضخامت پی 0.5 متر و بار قائم وارد بر آن 250kN است. با توجه به مشخصات داده شده برای خاک، حداکثر نیروی افقی که می توان در شرایط استاتیکی به این پی وارد کرد تا ضریب اطمینان آن در مقابل لغزش کمتر از 1.5 نشود را تعیین کنید ( Y=25kN/m3 بتن)

1- 225 2- 130 3- 153 4- 207

حل: برای کنترل عدم لغزش پی بایستی بنویسیم:

بنابراین حداکثر مقدار Q برابر 153 کیلونیوتن می باشد و گزینه 3 صحیح است.

مثال: شالوده ساختمانی دارای سطح 2x2m و ضخامت یک متر بوده و کف آن در عمق یک متری از سطح زمین قرار دارد. خاک محل شن و ماسه ای بوده و زاویه اصطکاک داخلی آن 40 درجه و وزن حجمی آن 20 کیلونیوتن بر متر مکعب است. در صورتی که بار عمودی طراحی (بدون ضریب بار) وارد بر پی 500 کیلونیوتن باشد، حداکثر بار افقی قابل اعمال بر این پی اگر بخواهیم ضریب اطمینان در برابر لغزش برابر با 2 باشد، چقدر خواهد بود؟ فرض می شود که بتن شالوده دارای وزن حجمی 25 کیلونیوتن بر متر مکعب بوده و به صورت تر بر روی زمین ریخته شده است.

1- 295 کیلونیوتن 2- 249 3- 255 4- 253

حل:

روند حل این سوال تقریبا مشابه تمرین قبل است، با این تفاوت که نیروهای افقی ناشی از خاک نیز بایستی در محاسبات خود لحاظ کنیم:

با جایگذاری مقادیر بدست آمده در رابطه اولیه خواهیم داشت:

پاسخ بدست آمده به گزینه 1 نزدیک تر بوده و در نتیجه همین گزینه صحیح است.

مثال: نیروهای وارد از پای ستون به مرکز یک شالوده مربعی در یکی از ترکیبات بارها در طراحی به روش تنش مجاز برای طرح شالوده های سطحی صلب، مطابق شکل است. ضریب بار مرده در این ترکیب بار 1 است. کدام یک از گزینه های زیر صحیح می باشد؟ خاک دانه ای، زاویه اصطکاک داخلی خاک Φ=40، زاویه اصطکاک شالوده با خاک برابر 0.8Φ، وزن حجمی بتن 25kN/m3، وزن مخصوص خاک 18kN/m3 و ظرفیت باربری مجاز خاک 200kN/m2 می باشد.

1- پی دچار لغزش می شود و تنش در زیر آن قابل قبول نیست.

2- پی دچار لغزش نمی شود و تنش در زیر آن قابل قبول است.

3- پی دچار لغزش می شود، اما تنش زیر آن قابل است.

4- پی دچار لغزش نمی شود و تنش در زیر آن قابل قبول نیست.

حل:

الف) کنترل در مقابل لغزش: باید کنترل کنیم FS≥FS=1.5 لغزش، باشد.

پس پی دچار لغزش نمی شود.

ب) کنترل تنش ها در زیر پی: چون پی صلب و خاک زیر آن دانه ای است، با توجه به رابطه qave≤qall باشد.

برای محاسبه qave باید توجه داشته باشیم که بارگذاری دارای خروج از مرکزیت است و مقدار آن برابر است با:

ملاحظه می کنید که پی از روی خاک بلند نشده (خاک زیر پی به کشش نمی افتد) و در نتیجه qave برابر می شود با:

از آنجا که qave≤qall=200kN/m2 است، می گوییم تنش در زیر پی قابل قبول است. بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مبانی طراحی سازه بتنی پی های سطحی

در بحث قبل دیدیم که ابعاد یک پی سطحی براساس ظرفیت باربری و نشست آنی بدست می آید. حال در این بحث می خواهیم با مبانی محاسبه ضخامت پی و همچنین آرماتورهای طولی (خمشی) در پی ها آشنا شویم.

به طور کلی طراحی ضخامت پی بر مبنای تامین مقاومت کافی در مقابل نیروها و تنش های برشی وارد بر پی در مقاطع بحرانی برشی آن است. طراحی آرماتورهای طولی نیز بر مبنای لنگر خمشی طراحی پی در مقطع بحرانی خمشی است.

مقاطع بحرانی خمش و برش

آیین نامه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان:

لنگر خمشی موثر در هر مقطع شالوده باید با گذراندن یک صفحه قائم از سراسر شالوده و محاسبه لنگرهای خمشی حاصل از نیروها و فشارهای موثر بر تمام شالوده واقع در یک سمت این صفحه تعیین گردد.

مقطع بحرانی برای تعیین حداکثر لنگر خمشی در شالوده، در مجاورت ستون ها و ستون پایه و دیوارها باید به شرح الف الی ب این بند در نظر گرفته شود.

الف) برای شالوده هایی که زیر ستون، ستون پایه یا دیوار بتنی قرار دارند، در ایت عناصر مزبور، متکی به شالوده می باشد.

ب) برای شالوده هایی که زیر دیوار با مصالح بنایی قرار دارند، در وسط لبه دیوار تا محور دیوار می باشد.

پ) برای شالوده هایی که زیر صفحه فلزی کف ستون قرار دارند، در وسط فاصله بر ستون تا لبه صفحه فولادی کف ستون می باشد.

در شالوده های منفرد و زیر دیوار، باید امکان ایجاد لنگر خمشی منفی و لزوم آرماتورگذاری در بالای مقطع شالوده بررسی شود.

همچنین در مبحث نهم گفته شده:

مقطع بحرانی برای محاسبات برش یکطرفه به فاصله d و برای برش دو طرفه به فاصله d/2 از محل های تعیین شده به شرح الف و ب این بند در نظر گرفته می شود:

الف) برای شالوده هایی که زیر ستون، پایه یا دیوار بتنی قرار دارند، بر عناصر مزبور، متکی بر شالوده ها می باشند.

ب) برای شالوده هایی که زیر صفحه فلزی کف ستون قرار دارند، وسط فاصله بر ستون تا لبه صفحه فولادی کف ستون ها می باشد.

به عنوان مثال برای یک شالوده منفرد که یک ستون بتنی روی آن قرار گرفته است، مقاطع بحرانی برش یک طرفه و دو طرفه مطابق شکل های زیر می باشند:

بررسی یک نکته کاربری: هرگاه ستون قرار گرفته بر روی پی، بتنی باشد می توان گفت لنگر خمشی و نیروی برشی در مقاطع بحرانی ذکر شده را به سادگی و از روابط زیر بدست آورد.

البته زمانی می توانیم از این روابط استفاده کنیم که بارگذاری وارد بر پی خروج از مرکزیت نداشته و فقط بار Pu ستون به مرکز پی وارد شده باشد.

در روابط فوق داریم:

qu: تنش یکنواخت ایجاد شده در زیر پی (qu=Pu/A)

L: طول پی و B: عرض پی

d: ارتفاع موثر پی

b و a: ابعاد ستون به ترتیب در جهت B و L

لازم به ذکر است از آنجا که لنگر خمشی و نیروی برشی محاسبه شده در مقاطع بحرانی مذکور، جهت طراحی پی که یک عضو بتنی است استفاده می شوند، باید طبق روش حالت حدی، از ترکیب بارهای ضریبدار در محاسبات آنها استفاده شود.

مثال: در شالوده زیر که بار محوری یک ستون بتنی را تحمل می کند، لنگر خمشی حداکثر و همچنین نیروی برشی حداکثر در مقاطع بحرانی خمشی و برشی این پی چند t.m و چند ton می باشد؟ (ضخامت پوشش را 5 سانتی متر در نظر بگیرید. اطلاعات بار ستون LL=30ton و DL=60ton)

حل:

ابتدا مقدار تنش در زیر پی را می یابیم:

حال طبق روابط گفته شده در نکته کاربردی قبل از این مثال می نویسیم:

مثال: بار محوری نهایی ستون بتنی با مقطه 50×50 سانتی متر در محل اتصال به پی بر اثر بارهای زنده و مرده برابر 1200kN می باشد. ابعاد پی منفرد زیر ستون دارای طول و عرض هر یک 2 متر و عمق موثر نیم متر محاسبه شده است. مقدار نیروی برشی نهایی دو طرفه (پانچ) در چه حدودی باشد؟

1- 1200 2- 900 3- 525 4- 300