محاسبه مقاومت برشی

مقاومت برشی اسمی مقاطع

مقاومت برشی مقطع نشان دهنده میزان نیروی برشی است که مقطع می تواند بدون آنکه دچار گسیختگی برشی شود، تحمل نماید.

این مقاومت برشی از دو عامل اصلی بتن و آرماتورهای برشی ناشی می شود. با توجه به این موضوع، مقاومت برشی اسمی مقطع با V_n نمایش داده شده و به صورت زیر معرفی می شود.

V_n=V_c+V_s

V_n: مقاومت برشی اسمی مقطع.

V_c: مقاومت برشی حاصل از بتن.

V_s: مقاومت برشی اسمی حاصل از آرماتورهای عرضی.

هنگامی که مقطع بتن آرمه تحت اثر نیروهای برشی کوچک قرار می گیرد، به طوری که هیچ گونه ترک خوردگی برشی در مقطع ایجاد نشود، بتن مقطع می تواند برش وارده را به خوبی تحمل کند.

اما به محض بروز اولین ترک ها در مقطع به دلیل ضعف بتن در برابر کشش، لازم است درصدی از نیروی برشی وارده به آرماتورهای عرضی منتقل شده و این آرماتورها همراه با بتن، کل نیروی برشی اعمالی را تحمل نمایند.

در واقع بر خلاف فرضیات طراحی خمشی مقطع از بتن ناحیه کششی پس از ترک خوردگی صرف نظر شد، در این حالت همواره مقاومت برشی بتن در محاسبات در نظر گرفته می شود.

با مطالعه این قسمت از فصل، با نحوه محاسبه هر یک از مقاومت های برشی حاصل از بتن و آرماتورهای عرضی آشنا خواهید شد.

مقاومت برشی حاصل از بتن

یکی از ابتدایی ترین پارامترهای تامین مقاومت برشی مقاطع بتن آرمه، مصالح بتن می باشد، با توجه به شکل زیر که یک ترک مورب را در مقطع نشان می دهد، سهم برش قابل تحمل توسط بتن به عوامل مختلفی وابسته است که از مهمترین آنها می توان به موارد بعدی اشاره نمود:

1)مقاومت برشی قابل تحمل توسط مصالح بتن در نواحی ترک نخورده (V_cz)

2)نیروی حاصل از درگیر شدن سنگدانه های بتن که از حاصل اصطکاک سنگدانه ها بر روی سطح بتن در دو طرف ترک می باشد. این نیرو مانع از جابه جایی قائم و پیشرفت ترک های برشی می گردد (V_ay).

3)نیروی مقاوم میلگردهای طولی مقطع که در جهت اصطکاک عمل کرده و با تحمل نیروی وارده مانع از بازشدگی بیشتر ترک ها می گردد(V_d).

سه عامل فوق از مهمترین عوامل مقاومت در برابر نیروی برشی هستند که مجموع آنها به عنوان مقاومت برشی اسمی تامین شده توسط بتن یا V_c معرفی می شوند. علاوه بر موارد مذکور، وجود نیروی محوری نیز در مقدار مقاومت برشی مقطع نقش به سزایی دارد.

در این خصوص وجود نیروی محوری فشاری با ایجاد اصطکاک بیشتر، مانع از بیشتر باز شدن ترک ها شده و مقاومت برشی را افزایش می دهد، در حالی که نیروی کششی وارد بر مقطع باعث بیشتر باز شدن ترک ها و کاهش مقاومت برشی مقطع می گردد.

علاوه بر نیروی محوری وجود آرماتور عرضی نیز با تعیین نوع شکست، در مقاومت برشی بتن نقش مهمی دارد. بنابراین مقاومت برشی حاصل از بتن، براساس وجود یا عدم وجود حداقل

آرماتور عرضی در مقطع (که نحوه محاسبه مقدار آن را در ادامه خواهیم گفت) مطابق روابط زیر بدست می آید.

1)در صورتی که در مقطع حداقل آرماتور عرضی وجود داشته باشد، مقدار V_c براساس دو رابطه زیر محاسبه می شود. دقت کنید در رابطه اولی زیر فقط اثر نیروی محوری و رابطه بعدیش علاوه بر اثر نیروی محوری، اثر میلگردهای طولی نیز لحاظ شده است.

نکته بسیار مهم:

در صورتی که نیروی محوری فشاری باشد با علامت مثبت و در صورتی که این نیرو به صورت کششی بر مقطع اعمال شود لازم است با علامت منفی در روابط بالا جایگزین شود.

A_g: سطح مقطع ناخالص عضو بتن آرمه، میلی مترمربع.

Ρ_w: درصد آرماتور طولی کششی واقع در جان که معادل ρ_w= می باشد.

تذکر: برای یک تیر فاقد نیروی محوری (N_u=0) و دارای آرماتور حداقل است روابط بالا به صورت زیر ساده می شوند:

2)در صورتی که مقطع فاقد آرماتور عرضی باشد یا حداقل آرماتور عرضی در مقطع به کار نرفته باشد (A_v<A_vmin)، مقدار مقاومت برشی با تعریف ضریب اصلاح تاثیر اندازه (λ_s) به صورت رابطه زیر بدست می آید:

پارامترهای به کار رفته در این روابط در قسمت قبل شرح داده شده اند.

در این حالت به دلیل کمبود و یا عدم وجود آرماتورهای عرضی، اثر ابعاد مقطع در نوع مکانیزم شکست برشی تیر بیشتر بوده، به همین دلیل در روابط حالت اول ضریب λ_s به کار نرفته است.

تذکر1: دقت شود در این حالت نیز مقدار حداکثر نسبت به 0.05f^’_c محدود می شود. لازم به ذکر است در این شرایط نیز نیروی محوری فشاری با علامت مثبت و نیروی محوری کششی با علامت منفی در معادلات جایگذاری می شود.

تذکر2: در طراحی شالوده های سطحی معمولا نیازی به قرار دادن آرماتور برشی حداقل در مقطع نمی باشد، ولی لازم است مقدار برش یک طرفه و دوطرفه در مقاطع بحرانی کنترل گردد. در این حالت، می توان از ضریب تاثیرعمق مقطع λ_s صرف نظر کرد. این موضوع را در بتن 2 بررسی می کنیم.

مقاومت برشی حداکثر بتن در یک مقطع

1)مقدار حداکثر مقاومت برشی بتن در هر یک از دو حالت فوق به 0.42λ b_wd محدود می شود. بنابراین در هنگام محاسبه مقاومت برشی بتن یا پاسخ به سوالات آزمون های نظام مهندسی، کنترل مقدار V_c بدست آمده با مقدار فوق را پیش از انتخاب پاسخ صحیح فراموش نکنید.

از طرفی باید توجه کنیم در مقاطعی که تحت نیروهای کششی نسبتا زیاد قرار دارند، ممکن است جمله موجب منفی شدن مقدار V_c شود. در چنین مواردی با توجه به اینکه گزارش مقاومت منفی بدون معنی می باشد، مقدار V_c=0 در نظر گرفته می شود. در این صورت می توان محدوده مجاز V_c را به صورت زیر تعریف کرد:

2)در مقاطعی که بر آنها نیروی محوری اثر نکرده و یا نیروی محوری از نوع کششی است، V_c از نظر ریاضی قطعا از مقدار حداکثر کمتر بوده و نیازی به کنترل بالا ندارد. به عبارتی کنترل V_c حداکثر، تنها در مقاطع با نیروی محوری فشاری ضرورت دارد.

3)در محاسبه مقدار V_c، مقدار حداکثر به 8.3 مگاپاسکال محدود می شود، مگر در تیرها و تیرچه هایی که در آنها حداقل مقدار آرماتور عرضی برشی در جان به کار رفته باشد. این کنترل در رده های C70 و بالاتر تعیین کننده است.

نکته بسیار مهم در خصوص محاسبه پارامترهای هندسی مقطع

در محاسبه پارامترهای هندسی مقطع باید به دو نکته بسیار مهم توجه کرد:

1)در مقاطعی که دارای بازشدگی هستند، مثل مقاطع قوطی شکل، در محاسبه مساحت A_g باید مساحت قسمت بازشو از مساحت کل کسر گردد.

2)با توجه به اینکه تنش های برشی به موازات نیروی برشی و در ارتفاع مقطع (در تیرها) ایجاد می گردند، در محاسبه عرض b_w فقط عرض بخش هایی از مقطع محاسبه می گردد که در تمام ارتفاع مقطع حضور دارند. برای درک بهتر به نحوه محاسبه عرض b_w در شکل های زیر دقت کنید:

3)در مقاطع دایروی توپر، در محاسبه پارامترهای مقاومت برشی از جمله مقاومت های برشی اسمی حاصل از بتن و آرماتورهای عرضی (V_c و V_s)، عرض جان (b_w) را می توان معادل قطر و عمق موثر را برابر 80 درصد قطر آن در نظر گرفت. در صورتی که مقطع دایروی توخالی باشد (مثل لوله)، عرض جان مقطع دو برابر ضخامت دیواره در نظر گرفته می شود.

در ادامه با چند مثال کاربرد روابط ارائه شده را بررسی خواهیم کرد.

مثال: مقطع بتن آرمه نشان داده شده در شکل مقابل را ببینید. در صورتی که عرض مقطع 400 mm و ارتفاع 600 mm و عمق موثر 540 mm باشد و در ساخت آن از بتن رده C30 و فولاد S400 استفاده شده باشد به سوالات زیر پاسخ دهید. بتن مصرفی معمولی می باشد.

الف) در صورتی که فرض، حداقل آرماتورهای برشی در مقطع به کار رفته باشد و مقطع تحت اثر نیروی محوری فشاری نهایی 400 کیلونیوتن قرار گرفته باشد، مقدار مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن مقطع در دو حالت بالانس با و بدون در نظر گرفتن آرماتورهای طولی چقدر است؟

ب)با فرض قسمت الف، در صورتی که نیروی محوری ضریبدار وارده به صورت کششی اعمال گردد، مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورهای طولی چقدر خواهد بود؟

ج)در صورتی که مقطع فاقد حداقل آرماتور عرضی برشی باشد، مقدار V_c را بدست آورید. در این حالت نیروی محوری اعمالی برابر 400 کیلونیوتن و به صورت فشاری در نظر گرفته شود.

حل:

الف)با توجه به فرض اینکه حداقل آرماتور برشی در مقطع به کار رفته است، با استفاده از روابط گفته شده داریم:

بنابراین مقدار بدست آمده فوق قابل قبول است. با جایگذاری مقدار بدست آمده در روابط اصلی مقاومت برشی داریم:

در صورتی که اثر آرماتورهای طولی مقطع در نظر گرفته شود، خواهیم داشت:

همانطور که ملاحظه می شود با در نظر گرفتن اثر ارماتورهای طولی، مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن به صورت کمتر و واقعی تر بدست می آید. باید به این نکته توجه کرد که در هر دو حالت به دلیل اعمال نیروی فشاری لازم است مقادیر بدست آمده با مقدار حداکثر کنترل گردد. بنابراین داریم:

بنابراین مقدار بدست آمده در هر دو حالت در محدوده مجاز قرار دارند.

تذکر 1: با توجه اینکه حداقل آرماتور عرضی در جان به کار رفته، لزومی به کنترل شرط نیست.

تذکر2: دقت شود در محاسبه مقدار ρ_w باید مساحت آرماتورهای طولی کششی در نظر گرفته شود. با توجه به اینکه مساحت آرماتورهای طولی در ناحیه کششی بیشتر از ناحیه فشاری است، بنابراین مشخص است که مقطع داده شده تحت خمش مثبت بوده و لذا 4φ20 معرف آرماتورهای کششی مقطع می باشد.

ب)در صورتی که نیروی محوری به صورت کششی بر مقطع اعمال گردد، مقدار مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورهای طولی، با استفاده از رابطه زیر بدست می آید:

توجه شود با توجه به ثابت بودن مقدار نیروی محوری، در این حالت نیز بوده و نیازی به کنترل مجدد مقدار آن نمی باشد. از طرفی در حالت کششی، بدون محاسبه نیز می توان گفت مقدار V_c از حداکثر مقدار مجاز کمتر بوده و نیازی به کنترل ندارد.

ج)در صورتی که از آرماتور عرضی حداقل در مقطع استفاده نشده باشد، مقدار V_c براساس رابطه به صورت زیر بدست می آید:

V_c=171.7 kN ≤ 496.9 kN

بنابراین مقدار مقاومت برشی اسمی بدست آمده در محدوده مجاز قرار دارد.

کمی دقت

با مقایسه نتایج بدست آمده از قسمت های الف و ج مشاهده می شود، هنگامی که آرماتور عرضی در مقطع به کار می رود، مقدار V_c برابر 261.1 kN بدست آمده (بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورهای طولی)، در حالی که چنانچه مقدار حداقل آرماتور برشی در مقطع تامین نشود، مقدار V_c تا حدود 172 kN کاهش می یابد.

در واقع علت این امر محتمل بودن گسیختگی برشی زود هنگام در تیر و عدم اطمینان از عملکرد مناسب مقطع بدون وجود آرماتور عرضی می باشد.

مثال: دو مقطع نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. در صورتی که در ساخت بتن مقطع 1 از بتن رده C40 و در ساخت بتن مقطع 2 از بتن با مصالح ریزدانه و درشت دانه سبک با مقاومت فشاری متوسط 35Mpa استفاده شده باشد، نسبت مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن مقطع 1 به 2 بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورهای طولی مطابق کدامیک از گزینه های زیر می باشد؟ نیروی محوری نهایی وارد بر هر دو مقطع از نوع فشاری و برابر 200kN بوده و هر دو مقطع با آرماتور برشی کافی فرض می شوند، ابعاد مشخص شده بر روی شکل بر حسب میلی متر می باشند.

1)1.27 2)1.34 3)0.63 4)1.58

حل:با توجه به رابطه گفته شده مقدار مقاومت برشی اسمی حاصل از بتن را برای هر یک از مقاطع بدست می آوریم. دقت شود در مقطع دایروی، مقادیر عرض جان، عمق موثر براساس قطر مقطع و به صورت زیر محاسبه می شوند:

با توجه به اینکه در مقطع 1 از مصالح معمولی استفاده شده است، بنابراین λ=1 می باشد.

بنابراین مقدار 249 کیلونیوتن به عنوان مقاومت برشی اسمی مقطع 1 در نظر گرفته می شود.

در مقطع 2 با توجه به اینکه از ریزدانه و درشت دانه سبک استفاده شده است، ضریب اثر بتن سبک با توجه به فصل اول برابر 0.75 در نظر گرفته شده، دراین صورت داریم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است.

مثال: یک مقطع بتنی درجا با شکل مقابل تحت نیروی برشی نهایی 150 kN قرار دارد. نسبت نیروی برشی مقاوم تامین شده توسط بتن در حالتی که نیروی محوری به صورت فشاری وارد شود، به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟(رده بتن C25 و فولاد میلگردها S400 هستند. ابعاد روی شکل به میلی متر است. آرماتور برشی حداقل در عوض تامین شده است).

1)1 2)1.3 3)1.55 4)2

حل: با استفاده از رابطه گفته شده در حالت فشاری داریم:

بنابراین مقاومت برشی اسمی مقطع در حالتی که نیروی محوری به صورت فشاری به مقطع اعمال می شود، برابر 1.033b_wd می باشد، در ادامه برای حالت کششی داریم:

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

مثال: یک مقطع مستطیلی بتن آرمه به عرض b و ارتفاع h را که تحت اثر نیروی محوری فشاری برابر 2bh بر حسب نیوتن قرار دارد، در نظر بگیرید. در صورتی که در مرکز این مقطع بازشویی به شکل مستطیل و با ابعاد و و با رعایت مقادیر حداقل پوشش تعبیه گردد، مقدار نیروی برشی مقاوم اسمی بتن (V_c) در حالت جدید چند برابر خواهد شد؟ بتن مصرفی از رده C30 بوده و در مقطع از حداقل آرماتور برشی استفاده می شود. نیروی محوری نهایی در هر دو حالت یکسان است.

1)1.38 2)0.69 3)0.87 4)1

حل: با تعبیه بازشو درون مقطع و تبدیل آن به یک مقطع قوطی شکل، عرض جان مقطع و مساحت برش کاهش می یابد. بنابراین در دو حالت مقطع را بررسی خواهیم کرد:

توجه شود که با تعبیه بازشوی مرکزی، مقادیر نیروی محوری و عمق موثر مقطع بدون تغییر و برابر مقدار اولیه باقی می ماند. با محاسبه مقادیر b_w و A_g در حالت جدید، داریم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: در یک تیر بتن آرمه پیش ساخته از بتن با شن و ماسه سبک استفاده شده و تیر دارای آرماتور برشی حداقل است. در صورتی که مقاومت فشاری مشخصه نمونه استوانه ای استاندارد بتن 25Mpa باشد. مقاومت برشی بتن v_c بر حسب Mpa به کدامیک از مقادیر زیر نزدیک تر است؟

1)0.64 2)0.52 3)0.70 4)0.93

حل: با توجه به رابطه تقریبی ارائه شده برای تیرها با آرماتورگذاری حداقل، مقاومت برشی مقطع برابراست با:

در ادامه تنش برشی مقاوم بتن در اینگونه سوالات، به صورت زیر درنظر گرفته می شود:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

مثال: یک عضو بتن آرمه با مقطع مستطیلی (b=400 mm و d=600 mm) و دارای 8φ20 به عنوان آرماتور کششی طور همزمان تحت اثر لنگر خمشی M_u=120 kN.m و نیروی برشی V_u=240 kN قرار دارد. در صورتی که نوع بتن C20 و رده فولاد S400 باشد، مقدار نیروی برشی اسمی بتن بر حسب کیلونیوتن با فرض وجود حداقل آرماتور برشی در مقطع به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟

1)450 2)194 3)169 4)155

حل: با توجه به اینکه مساحت آرماتورهای طولی نیز مشخص شده است داریم:

بنابراین گزینه 4 صحیح است. دقت کنید که در ویرایش های قبلی آیین نامه مقادیر M_u و V_u در محاسبات V_c تاثیر گذار بود که در روابط ارائه شده در مبحث نهم ویرایش 99 این موضوع لحاظ نشده است. از سوی دیگر در حالتی که نیروی محوری بر مقطع وارد نمی شود، V_c قطعا از مقدار حداکثر کمتر است.

مثال: تیری با مقطع مستطیلی به عرض 300 mm و ارتفاع موثر 500 mm مفروض است. در صورتی که آرماتور کششی 4φ25، رده بتن C25 و نوع فولاد S400 و در مقطع از حداقل آرماتور عرضی استفاده شده باشد، نسبت v_c با لحاظ کردن اثر آرماتورهای طولی نسبت به حالت بدون لحاظ کردن آرماتورهای طولی به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟

1)0.9 2)1.0 3)1.1 4)0.8

حل:

با فرض استفاده از آرماتور عرضی در مقطع و با توجه به عدم وجود نیروی محوری (N_u=0) مطابق روابط گفته شده داریم:

از طرفی می دانیم در حالت N_u=0 هر دو مقدار V_c1 و V_c2 لزوما در محدوده مجاز قرار دارند، بنابراین نسبت آنها به صورت زیر محاسبه می شود:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

مثال: در مورد نیروی برشی مقاومت تامین شده توسط بتن v_c اعضایی که تحت اثر نیروی برشی و لنگر خمشی و نیروی محوری قرار دارند، گزینه صحیح را انتخاب کنید.

1)نیروی محوری فشاری، V_c را افزایش و نیروی محوری کششی، مقدار V_c را کاهش می دهد.

2)نیروی محوری فشاری، مقدار V_c را کاهش و نیروی محوری کششی، مقدار V_c را افزایش می دهد.

3)نیروی محوری فشاری و نیروی محوری کششی هر دو، مقدار V_c را افزایش می دهند.

4)نیروی محوری تاثیری بر مقاومت برشی V_c ندارد.

حل: همانطور که خواندیم نیروی محوری در صورتی که از نوع فشاری باشد با علامت مثبت و چنانچه به صورت کششی اعمال گردد به صورت منفی در روابط محاسبه مقاومت برشی اسمی مقاطع در نظر گرفته می شود. بنابراین وجود نیروی محوری فشاری در مقطع باعث افزایش مقاومت برشی و نیروی محوری کششی باعث کاهش آن می گردد. دلیل این امر ایجاد اصطکاک بیشتر بین سنگدانه ها و جلوگیری از باز شدن و گسترش ترک ها تحت اثر نیروی محوری فشاری می باشد و گزینه 1 صحیح است.

مثال: در یک عضو بتن آرمه با مقطع مستطیلی شکل تحت اثر همزمان برش، خمش و نیروی محوری فشاری، بدون استفاده از رابطه با جزئیات دقیق تر، اگر پهنای عضو 25 درصد بزرگتر بشود ولی سایر ابعاد و مشخصات ثابت بماند، حداکثر نیروی برشی مقاوم اسمی تامین شده توسط بتن حدودا چند درصد می تواند افزایش یابد؟ (فرض کنید مقدار نیروی فشاری نهایی برابر 2A_g بر حسب نیوتن بوده و A_g مساحت بر حسب میلی متر مربع قبل از افزایش پهنا است، فرض می شود مقطع دارای آرماتور برشی حداقل بوده و رده بتن C25 در نظر گرفته می شود).

1)28 2)21 3)19 4)14

حل: با استفاده از آرماتور برشی در عضو مورد نظر و با صرف نظر از اثر آرماتورهای طولی مقطع، مقاومت برشی اسمی با استفاده از رابطه زیر بدست می آید: