محاسبه مقاومت خمشی تیرهای مختلط

براساس روش طراحی LRFD، لازم است مقاومت اسمی مقاطع مختلط همانند سایر مقاطع مختلط همانند سایر مقاطع فولادی محاسبه و تعیین گردد.

از آنجایی که اصول تعیین مقاومت اسمی مصالح فولادی و بتنی در مواردی ممکن است با هم متفاوت باشد و از سوی دیگر آیین نامه های رایج بتنی نیز تفاوت هایی را در نحوه تعیین مقاومت اسمی مقاطع از خود نشان می دهند، لازم است تا یک روند مشخص در تعیین مقاومت اسمی مقاطع مختلط در نظر گرفته شود.

از این رو مبحث دهم مقررات ملی ساختمان، دو روش کلی شامل سازگاری کرنش ها و روش توزیع پلاستیک تنش را برای تعیین مقاومت اسمی مقاطع مختلط مجاز می داند که در این قسمت بررسی می کنیم.

تذکر: در هر دو روش تعیین مقاومت خمشی مقاطع، از ظرفیت کششی بتن صرف نظر می شود.

روش سازگاری کرنش ها

در این روش، تغییرات کرنش در ارتفاع مقطع به صورت خطی فرض شده و حداکثر کرنش در بتن برابر 0.003 فرض می گردد.

سپس به کمک برقراری روابط تعادل نیروها و لنگرها در مقطع، مقاومت اسمی مقطع تعیین خواهد شد.

دقت شود که برای استفاده از روش سازگاری کرنش ها باید نمودار تنش – کرنش فولاد و بتن تحت بارهای کششی و فشاری مشخص باشد.

درباره روش سازگاری کرنش ها، به دو نکته زیر توجه کنید:

1- استفاده از روش سازگاری کرنش ها، به شکل منحنی تنش – کرنش ماده وابسته است و به همین دلیل اساسا روشی زمان بر می باشد.

2- با توجه به مورد 1، روش سازگاری کرنش ها تنها در موارد زیر استفاده می شود:

اعضای با مقطع نامنظم
مقاطعی که اجزای فولادی آن رفتار الاستوپلاستیک نداشته باشند.
هر نوع مقطع خاصی که امکان استفاده از روش توزیع پلاستیک در آن وجود نداشته باشد.

روش توزیع پلاستیک تنش

در این روش، مقاومت خمشی اسمی اعضای با مقطع مختلط براساس مفروضات زیر محاسبه می شود:

1- تنش در اجزای فولادی (هم در ناحیه فشاری و هم در ناحیه کششی) به تنش یکنواخت Fy می رسد.

2- تنش در ناحیه فشاری اجزای بتنی به تنش یکنواخت 0.85f’c می رسد.

3- تنش در ناحیه کششی اجزای بتنی برابر صفر می باشد.

fc: مقاومت فشاری مشخصه نمونه استوانه ای بتن

Fy: تنش تسلیم اجزای فولادی مقطع مختلط

تبصره: در تعیین مقاومت اسمی اعضای با مقطع مختلط پر شده با بتن، به خاطر محصور بودن بتن در داخل مقطع فولادی، به جای تنش یکنواخت 0.85f’c در ناحیه فشاری اجزای بتنی مقطع مختلط، می توان از تنش یکنواخت 0.95f’c استفاده نمود.

در ادامه بحث، برای درک بهتر از کاربرد روش توزیع پلاستیک تنش، نحوه تعیین مقاومت خمشی مثبت و مقاومت خمشی منفی تیرهای مختلط را بررسی می کنیم.

محاسبه مقاومت خمشی مثبت در تیرهای مختلط

یک تیر مختلط، از یک پروفیل فولادی و دال روی آن تشکیل شده است که در شکل زیر نمونه ای از آن را مشاهده می کنید.

اگر برای جان پروفیل فولادی، رابطه (کنترل فشردگی) برقرار باشد، مقدار مقاومت خمشی اسمی مقطع (Mn) براساس توزیع تنش پلاستیک در مقطع مختلط تعیین می گردد و Φ=0.9 است.

برای این منظور باید مراحل زیر انجام شود:

1- محل محور خنثی پلاستیک در ارتفاع مقطع فرض می شود. بر این اساس، محور خنثی پلاستیک ممکن است در بتن یا در فولاد قرار گیرد که در شکل زیر این دو حالت را مشاهده می کنید.

2- با نوشتن رابطه تعادل نیرهای محوری در مقطع، محل دقیق محور خنثی پلاستیک مشخص می شود. دقت دارید که در این مرحله باید با توجه به یکی از شکل های فوق (توزیع تنش فرض شده در مقطع) انجام شود.

3- ظرفیت خمشی اسمی مقطع با لنگر گیری حول محور خنثی پلاستیک حاصل می شود.

مثال: مقاومت خمشی طراحی برای مقطع مختلط زیر که دارای عرض موثر 2000 میلی متر برای دال بتنی می باشد، چقدر است؟ (تیر فولادی دو سر مفصل بوده و تحت بار ثقلی قرار دارد. Fy=240MPa و fc=21MPa)

1- 238 کیلونیوتن بر متر 2- 257 3- 284 4- 308

حل: با توجه به اینکه تیر فولادی دو سر مفصل است و تحت بار ثقلی قرار دارد، در تیر فقط لنگر مثبت ایجاد می شود و بنابراین مقاومت خمشی مقطع تحت لنگر خمشی مثبت مد نظر است. حال ابتدا شرط گفته شده برای جان پروفیل را بررسی می کنیم.

توجه: پارامتر h برای پروفیل های نورد شده، همان h-2c اشتال است که در جدول قبل نیز بیان شده است. در ضمن دقت شود که کنترل فوق، کنترل فشردگی جان پروفیل فولادی است و چون مقطع IPE اشتال فشرده است، بدون انجام محاسبات هم می توانستیم به همین نتیجه برسیم.

پس در این مقطع می توان از روش توزیع پلاستیک تنش استفاده کرد. در ادامه، مراحل زیر را مطابق درسنامه انجام می دهیم:

1- با فرض قرار گیری محل محور خنثی پلاستیک در دال بتنی داریم:

2- رابطه تعادل نیروهای محوری را براساس شکل فوق می نویسیم:

توجه: براساس شکل فوق، مقدار Yp باید بین 0 تا 120 میلی متر باشد که همینطور هم بدست آمده و بنابراین فرض انجام گرفته صحیح است.

دقت کنید که اگر مقدار بدست آمده برای Yp بیش از 120 میلی متر بدست می آمد، باید محل محور خنثی را در خارج از دال بتنی یعنی در پروفیل فولادی در نظر گرفته و محاسبات دوباره انجام می دادیم.

3- حال می توان ظرفیت خمشی اسمی مقطع را با لنگر گیری حول محور خنثی پلاستیک محاسبه کرد.

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

مثال: در یک سقف مختلط با بتن از رده C25 و تیرآهن های IPE200 (با سطح مقطع 2850 میلی متر مربع) از فولاد با تنش تسلیم 240 مگاپاسکال، ضخامت دال 80 میلی متر و عرض موثر دال بتنی هر تیر یک متر می باشد. مقاومت خمشی اسمی (Mn) مثبت هر تیر مختلط حدودا چند کیلونیوتن – متر می باشد؟

1- 132 2- 112 3- 96 4- 84

حل: با توجه به اینکه پروفیل مورد استفاده نورد شده است، پس جان آن فشرده بوده (لاغری جان آن کوچکتر از است) و بنابراین مقاومت خمشی مثبت آن باید براساس توزیع پلاستیک تنش بر روی مقطع مختلط محاسبه شود.

حال در ابتدای حل این تست بررسی می کنیم که محور خنثی در دال بتنی تشکیل می شود یا پروفیل فولادی؛

براساس فرض توزیع پلاستیک تنش، مقدار تنش کششی در پروفیل فولادی برابر Fy و مقدار تنش فشاری در دال بتنی برابر 0.85f’c است.

حال اگر محور خنثی دقیقا در مرز بین پروفیل فولادی و دال بتنی باشد، باید برای تعادل نیروهای محوری در مقطع، ظرفیت کششی پروفیل فولادی مساوی ظرفیت فشاری دال بتنی باشد.

اما در این تست به علت بزرگتر بودن ظرفیت فشاری دال بتنی از ظرفیت کششی پروفیل فولادی، محور خنثی در دال تشکیل می شود.

به عبارت دیگر باید محور خنثی بالاتر از از مرز بین پروفیل فولادی و دال بتنی باشد تا از نیروی ناحیه فشاری کاسته شده و تعادل نیروهای محوری برقرار شود.

در ادامه حل این تست، اگر ارتفاع بلوک فشاری را که دارای توزیع یکنواخت تنش فشاری برابر 0.85f’c است، با پارامتر a در نظر بگیریم داریم:

توجه: در این مثال با رویکری که اندکی متفاوت با مثال قبلی، محل محور خنثی پلاستیک را تعیین کردیم. در ادامه برای تعیین مقاومت خمشی اسمی مقطع، مقدار نیروی کششی یا فشاری را در بازوی لنگر ضرب کرده و داریم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

محاسبه مقاومت خمشی منفی در تیرهای مختلط

مقطع مختلط شکل زیر را تحت لنگر خمشی منفی در نظر بگیرید. در این حالت نواحی فوقانی تحت کشش قرار گرفته و به همین دلیل باید دال بتنی را از محاسبات حذف کرد.

در واقع در این حالت مقطع عملکرد مختلط ندارد، ولی می توان روی نیروی کششی ایجاد شده در آرماتورهای فولادی موجود در دال حساب باز کرد، مشروط بر آنکه:

1- مقطع فولادی فشرده بوده و دارای اتکای جانبی کافی باشد.

2- در ناحیه لنگر منفی، دال بتنی به همراه برشگیرهای کافی به تیر فولادی وصل شده باشد.

3- در محدوده عرض موثر دال بتنی، آرماتورهای موازی با محور تیر (که در شکل زیر دیده می شوند) دارای چسبندگی و طول مهاری مناسب مطابق مبحث نهم مقررات ملی ساختمان باشند.

مثال: مقطع مختلط شکل زیر تحت اثر لنگر منفی قرار دارد. نسبت مقاومت خمشی اسمی این مقطع در حالتی که بتوان روی ظرفیت آرماتورهای دال حساب کرد به حالتی که نتوان آرماتورهای دال را در محاسبات وارد نمود، تقریبا چقدر است؟ (مصالح فولادی ST37 و مصالح آرماتور S340)

1- 1.23 2- 1.41 3- 0.85 4- 0.77

حل: برای پاسخ به این سوال باید ظرفیت خمشی در دو حالت زیر بررسی شود:

حالت اول: اگر شروط سه گانه مربوط به آرماتورهای فولادی برقرار بوده و بتوان روی ظرفیت آنها حساب کرد.

حالت دوم: اگر حداقل یکی از شروط سه گانه مربوط به آرماتورهای فولادی برقرار نباشد، آرماتورها در تعیین مقاومت خمشی منفی مقطع دخیل نبوده و در حقیقت باید لنگر پلاستیک پروفیل فولادی به تنهایی منظور شود که برابر FyZ است.

برای مقطع فولادی I شکل مورد نظر که متقارن است داریم: