بررسی فولاد بالانس، فولاد حداقل و حداکثر در مقطع مستطیلی بتن آرمه

این بخش از موضوعات پر تست از آزمون به حساب می آید و می خواهیم مقادیر را دقیق محاسبه کنیم.

1- حالت بالانس یا متعادل در مقاطع بتن آرمه

همانطور که قبلا گفتیم همزمان با رسیدن کرنش در دورترین تار فشاری بتن به کرنش حد گسیختگی (Ԑ_cu)، کرنش در دورترین ردیف آرماتور کششی به کرنش حد تسلیم (Ԑ_y) برسد می گوییم مقطع در حالت بالانس قرار گرفته است.

همانطور که در شکل زیر می بینیم مقدار فولاد کششی موجود در مقطع در این حالت A_sb و عمق محور خنثی X_b می باشد که در ادامه بررسی می کنیم.

محاسبه ارتفاع X_b به چه صورت است؟

با استفاده از تشابه مثلث ها و به کمک شکل ساده جایگزین شده، مقدار X_b برابر است با:

نکات مهم:

با توجه به رابطه بدست آمده، X_b تنها به جنس مصالح (Ԑ_cu و Ԑ_y) و عمق مقطع (d) وابسته بوده و به عبارتی از عرض مقطع مستطیل مستقل می باشد.

رابطه X_b با توجه به نمودار کرنش بدست آمده و از شکل مقطع مستقل است یعنی فرقی نمی کنه مقطع دایره، مثلث و ذوزنقه باشه برای همه مقاطع یکسان است. شکل زیر ببینید:

با توجه به اینکه برای انواع بتن مقدار Ԑ_cu = 0.003 است می توانیم رابطه X_b را به صورت زیر ساده کنیم:

مقدار فولاد بالانس را چگونه به دست می آوریم؟

برای محاسبه A_sb کافی است با توجه به مفاهیم مطرح شده در قسمت های قبلی، به تساوی نیروی کششی فولاد (T) با نیروی فشاری بتن (C) که اصلی ترین معادله ما در لحظه نهایی است توجه شود:

نسبت فولاد موجود در یک مقطع مستطیلی تک آرمه (p_b) در حالت بالانس عبارت است از:

همانطور که می بینیم در یک مقطع مستطیلی نسبت فولاد بالانس (p_b) از ابعاد مقطع مستقل بوده و تنها به جنس مصالح وابسته است.

با توجه به مفاهیم مقاومت مصالح انحنای مقطع معادل شیب نمودار کرنش نسبت به محور قائم است. بنابراین مقدار انحنای مقطع در حالت بالانس عبارت است از:

لنگر اسمی مقطع در حالت بالانس چگونه محاسبه می شود؟

برای محاسبه لنگر خمشی مقاوم اسمی مقطع کافیست حالضرب نیروهای کششی یا فشاری در بازوی لنگر محاسبه گردد. در این صورت داریم:

در آزمون های نظام مهندسی در صورتی که مقطع مورد سوال در وضعیت بالانس باشد کافیست با جایگذاری معلومات مساله مجهولات را بدست آوریم.

مثال: یک مقطع مستطیل شکل بتنی را با آرماتور کششی تنها و با بتن C30 و فولاد S400 در حالت بالانس در نظر بگیرید. در صورتی که در این مقطع از بتن جایگزین رده C70 استفاده شود:

الف) عمق محور خنثی در حالت بالانس چگونه تغییر می کند؟

ب) مساحت فولاد در حالت بالانس چند برابر خواهد شد؟

ج) انحنای مقطع در حالت بالانس چند برابر خواهد شد؟

حل:

الف) در حالت خنثی عمق محور خنثی به صورت زیر محاسبه می شود:

همانطور که مشاهده می شود، عمق محور خنثی در حالت بالانس به کرنش مصالح بتن و فولاد و همچنین عمق موثر بستگی دارد. با توجه به آیین نامه در بتن های مختلف مقدار کرنش گسیختگی

یکسان و برابر 0.003 فرض می شود. بنابراین با توجه به ثابت بودم مشخصات فولاد مقطع و مقدار Ԑ_y مقدار عمق خنثی بدون تغییر می ماند.

ب) با توجه به رابطه محاسبه A_sb داریم:

بنابراین در حالت دوم: مساحت فولاد بالانس در حدود 1.7 برابر حالت اول می باشد.

دقت شود که می توانستید با استفاده از جدول به طور مستقیم مقادیر α₁β₁ برای بتن C30 را برابر 0.7098 و برای بتن C70 برابر 0.522 در نظر بگیریم.

ج) با توجه به ثابت ماندن Ԑ_cu و X_b ، انحنای مقطع در حالت بالانس در هر دو حالت یکسان است، پس مقدار φ ثابت می ماند.

مثال: مقطع تیری مانند شکل زیر است. رفتار خمشی تیر چگونه است؟ (f_y=400 Mpa و f’_c=25 MPa.)

1-پر فولاد 2- کم فولاد 3- غیر مسلح 4- متعادل

حل:

برای تعیین رفتار خمشی مقطع کافیست مساحت فولاد موجود در مقطع را با مساحت فولاد بالانس مقایسه کنیم:

مثال: شکل زیر مقطع یک تیر بتن آرمه را در حالت بالانس نمایش می دهد.در صورتی که بتن از رده C30 و فولاد S400 باشد، مقدار عمق محور خنثی در ناحیه فشاری را برای لحظه نهایی محاسبه کنید (ابعاد مشخص شده بر روی شکل بر حسب میلی متر هستند).

1)204 2) 212 3)198 4)234

حل: در مقاطع با چند ردیف فولاد، برای رخ دادن حالت بالانس، هنگامی که بتن در دورترین تار فشاری به کرنش حد گسیختگی Ԑ_cu می رسد، فولاد کششی در دورترین ردیف میلگردهای کششی به حد جاری شدن می رسد.بنابراین در شکل بالا در حالت بالانس پایین ترین ردیف میلگردها (ردیف 3 تایی) به کرنش حد جاری شدن می رسند و در محاسبه فاصله موثر، باید فاصله این آرماتورها تا دورترین تار فشاری به عنوان عمق موثر در نظر گرفته شود. در این صورت مطابق رابطه عمق محور خنثی داریم:

مثال: یک مقطع بتن آرمه به شکل مثلث را با مشخصات زیر در نظر بگیرید. با توجه به این مقطع، به سوالات زیر پاسخ دهید (C25 و S400).

الف) عمق محور خنثی را در حالت بالانس چند میلی متر است؟

ب) مساحت فولاد بالانس را محاسبه کنید.

حل:

الف) در مقاطع مثلثی نیز مشخصات حالت بالانس مطابق آنچه گفتیم با توجه به نمودار کرنش ها و معادلات تعادل قابل محاسبه است:

در ادامه مهمترین موضوع محاسبه A_c (مساحت ناحیه فشاری بلوک ویتنی) می باشد که برای این منظور به صورت زیر عمل می شود:

برای محاسبه M_nb، باید توجه شود که مرکز سطح هاشور خورده از راس مقطع 2/3a_b فاصله دارد پس:

M_nb=f_yA_sb (d-2/3a_b)

مثال: در مقطع نشان داده شده، مقدار A_s1 چقدر باشد تا مقطع در حالت توازن (بالانس) قرارگیرد؟

1)25 2) 45 3) 55 4)64

Es=2×10⁶ kg/cm² , Ԑ_cu=0.003 , β₁=0.7

A_s2=A_s3=10cm²

f_y=4000 kg/cm² , f’_c= 500 kg/cm² , α₁=0.85

حل: همانطور که مشاهده می شود مقطع مورد نظر هندسه خاصی داشته و رابطه مشخصی را برای فولاد بالانس آن نمی دانیم، بنابراین با استفاده از تعریف حالت بالانس، سوال را حل می کنیم.با توجه به مفاهیم حالت بالانس، می دانیم که در این حالت دورترین تار فشاری بتن به Ԑ_cu رسیده و در صورتی که چند ردیف فولاد داشته باشیم، پایین ترین ردیف فولاد کششی به کرنش Ԑ_y می رسد.X_b نیز مانند سوالات قبل محاسبه می شود. بنابراین با رسم نمودار کرنش در حالت بالانس مقادیر کرنش فولادها را بدست می آوریم:

محاسبه مساحت حداقل آرماتور کششی

گاهی از اوقات ابعاد مقطع بزرگ بوده و فولاد محاسباتی مقطع با توجه به بررسی لحظه نهایی مقدار کمی بدست می آید. در این حالت، به منظور اینکه مقطع بتن آرمه به صورت مسلح در نظر گرفته شده و دچار شکست ناگهانی نگردد، لازم است مطابق آیین نامه مقدار حداقل مشخصی آرماتور در آن تعبیه گردد. نسبت حداقل میلگردهای کششی مقطع به صورت زیرتعریف می شود:

در خصوص رابطه فوق نکات زیر حائز اهمیت است:

مقدار حداقل مساحت آرماتور خمشی مطابق رابطه بالا باید در تمامی مقاطعی از تیر که در اثر لنگر خمشی مثبت یا منفی وارده نیازبه تعبیه آرماتور کششی وجود دارد تامین گردد.
در رابطه بالا مقدار حداکثر مقاومت حد تسلیم آرماتورها به 550 مگا پاسکال محدود می شود. f_y≤500 MPa
با توجه به رابطه ارائه شده، برای بتن های با مقاومت فشاری کمتر یا مساوی 31.36 مگاپاسکال جمله اول و برای بتن های با مقاومت فشاری بزرگتر، جمله دوم تعیین کنندست. بنابراین می توان نوشت:

با توجه به اینکه مقدار نسبت آرماتور کششی حداقل (ρ_min) صرفا به مصالح مصرفی وابسته بوده و از ابعاد مقطع مستقل است، لذا برای سهولت محاسبه و به خصوص صرفه جویی زمان در آزمون های نظام مهندسی، مقادیر این پارامتر با در نظر گرفتن حالات مختلف و متداول مصالح مصرفی، درجدول صفحات بعد آورده شده است.

نکته: در مقاطع خمشی تعبیه حداقل آرماتور کششی ضروری است اما در مواقعی با توجه به ملاحظات بهره برداری، معماری یا سایر موارد لازم است از مقاطع با هندسه بزرگتر نسبت به آنچه براساس مقاومت نیاز است استفاده گردد. در برخی موارد نیز مقطع مورد نظر تحت بارهای بسیار کم قرار می گیرد، لذا آرماتور مطابق آیین نامه می توان آرماتور کمتری نسبت به آرماتور حداقل آیین نامه ای در مقطع به کار برد، به شرط آنکه آرماتور موجود حداقل به مقدار 3/1 برابر بیشتر از آرماتور مورد نیاز محاسباتی باشد. در این صورت مساحت حداقل مورد قبول به صورت زیر بدست می آید:

محاسبه مساحت حداکثر آرماتور کششی

همانطور که وجود آرماتور کششی در مقاطع اعضای خمشی برای افزایش ظرفیت تیر در برابر خمش لازم است، باید توجه کرد که مقدار زیاد آرماتورها باعث کاهش شکل پذیری تیر می شود. بنابراین لازم است مقدار آرماتورها با یک مساحت حداکثر نیز کنترل شود.

کنترل مساحت آرماتور ها در تیرهایی که تحت اثر همزمان لنگر خمشی و نیروی محوری فشاری نهایی کمتر از 0.1f’_cA_g (حاصل از بارهای ضریب دار) قرار دارند به گونه ای است که در لحظه نهایی وضعیت کشش – کنترل در مقطع به وجود آید.

در مقاطع کشش – کنترل مقدار کرنش آرماتورهای کششی در لحظه نهایی بزرگتر از 0.003 +Ԑ_y می باشد. سوال اینجاست که با توجه به مقدار کرنش چگونه مساحت حداکثر آرماتور در مقطع محاسبه می شود؟ بسیار ساده کافیه ابتدا عمق محور خنثی را محاسبه کنیم و بعد با رابطه تعادل مقدار مساحت را محاسبه کنیم:

تذکر: با توجه به اینکه در لحظه نهایی Ԑ_cu=0.003 می باشد، به عنوان مثال، اگر از فولاد S400 در طراحی استفاده گردد، مقدار Ԑ_y=0.002 بوده و رابطه بالا به صورت زیر ساده می شود:

نکته مهم: رابطه بالا برای یک تیر تک آرمه تحت خمش خالص بدست آمده است و برای سایر مقاطع هندسی دیگر برقرار نیست.

مثال: در یک تیر بتن آرمه با مقطع 400×600 mm ، به ترتیب حداقل و حداکثر مساحت آرماتورهای خمشی بر حسب میلی متر مربع به کدام یک از گزینه های زیر نزدیک تر است؟( d=530 mm ، S400 و C30)

1) 5650 , 700 2) 4350 , 650 3) 4230 , 750 4)5920 , 800

مثال: شکل زیر مقطع یک عضو خمشی را نشان می دهد. در صورتی که عرض تیر برابر 400 میلی متر باشد عمق موثر برابر 450 میلی متر و مصالح مصرفی C30 و S400 باشد:

الف) مساحت آرماتور حداقل این تیر چقدر است؟

ب) مساحت آرماتور حداکثر تیر برای رخ دادن حالت کشش – کنترل چقدر است؟

ج) مساحت حداکثر فولاد، چند برابر مساحت فولاد در حالت بالانس می باشد؟

حل:

مثال: در یک مقطع مستطیلی تحت خمش به عرض b و عمق موثر d کدام یک از گزینه های زیر رابطه بین ρ_max و ρ_min را به طور صحیح نشان می دهد؟

نگاه مفهومی به مقادیر مختلف فولاد در یک مقطع

در یک مقطع تک آرمه مستطیلی مطابق شکل زیر؛ طبق آنچه گفتیم مقادیر A_smin، A_sb و A_smax را برای مقطع محاسبه کردیم. با توجه به این مقادیر می توان نوشت:

حالت 1: اگر A_s>A_sb باشد شکست مقطع ترد بوده و مقطع غیر مجاز است.

حالت 2: اگر A_s = A_sb باشد شکست مقطع بالانس بوده و مقطع غیر مجاز است.

حالت 3: اگر A_smax<A_s<A_sb باشد شکست مقطع نرم بوده ولی با توجه به آیین نامه این مقطع غیر مجاز است.

حالت 4: اگر A_smin≤A_s<A_smax باشد شکست مقطع نرم بوده و طبق آیین نامه مقطع مجاز است.

حالت 5: اگر A_s<A_smin باشد مقطع عملا غیر مسلح تلقی شده و کاربرد آن غیر مجاز است مگر آنکه مقدار A_s در رابطه زیر صدق نماید.

مثال: در طراحی یک قاب خمشی بتن آرمه مقاوم در برابر زلزه با شکل پذیری زیاد، تیری به عرض 30 سانتی متر و ارتفاع موثر 57 سانتی متر وجود دارد که هم در بالا و هم در پایین آن سه عدد میلگرد آجدار به قطر 16 میلی متر پیشبینی شده است. اگر بتن از رده C25 باشد، حداقل رده قابل قبول فولاد برای آرماتور طولی کدام است؟

S400 S340 S500 S240

حل:

در اینگونه سوالات برای محاسبه رده فولاد کافیست مساحت آرماتور حداقل را با آرماتور موجود مقایسه کنیم. به بیان دیگر می خواهیم رده فولاد را به نحوی محاسبه کنیم که رابطه A_s≥A_smin در مقطع برابر باشد. از طرفی f’_c کمتر از 31.36 MPa بوده و قطعا رابطه اول مربوط به فولاد حداقل برقرار است. بنابراین می توان نوشت:

گزینه 4 صحیح است.

مثال: در تیر بتن مسلح از بتن درجا با تکیه گاه های ساده و بدون لحاظ میلگردهای ناحیه فشاری و با نیروی محوری ناچیز، در صورتی که رده بتن C25 و رده فولاد S400 باشد، حداکثر نسبت سطح مقطع میلگرد کششی به سطح مقطع موثر به کدام یک از مقادیر زیر نزدیک تر است؟

1) 025 2) 0.017 3) 0.027 4) 0.021

حل:

خواسته سوال ρ_max می باشد، بنابراین داریم:

گزینه 2 صحیح است.

مثال: در مقطع زیر، در لحظه نهایی، فاصله محور خنثی از دورترین تار فشاری برابر 100 میلی متر است. مقدار فولاد کششی موجود در مقطع، در کدام محدوده قرار می گیرد؟ (A_sb و A_smax به ترتیب مقادیر فولاد بالانس و حداکثر فولاد مجاز در مقطع بوده و فولاد از رده S400 است).