پارامترهای اساسی در محاسبات اعضای خمشی

طراحی اعضای خمشی موضوع گسترده ای است که در قسمت های بعدی به بررسی کامل آن می پردازیم.

به همین دلیل ترجیح دادیم تا در این قسمت، ابتدا مفاهیم اولیه و چند پارامتر مهم که در روابط خمش کاربرد دارند را برای شما مهندسان عزیز معرفی کنیم.

مروری بر مفاهیم اولیه خمش

در قسمت های گذشته، با طراحی اعضای کششی و فشاری در سازه های فولادی آشنا شدیم و در این فصل می خواهیم اعضای خمشی را بررسی کنیم.

در بسیاری از موارد اعضای افقی سازه تحت اثر نیروی ثقلی عمود بر محور عضو قرار می گیرند.

در این حالت در عضو لنگر خمشی و نیروی برشی ایجاد شده و عضو مورد نظر تیر نام دارد. در سازه های فولادی، تیرها اغلب به صورت های ساده، یکسره و دو سر گیردار کاربرد دارند.

تیرهای ساده، معمولا به صورت تیرچه در سقف ها و تیرهای یکسره در بسیاری از قسمت های سازه کاربرد دارند.

ساده ترین تیرهایی که می توان آنها را در نظر گرفت، تیر دو سر ساده و تیر طره می باشند.

در شکل های زیر به طور نمونه، یک تیر ساده با بارگذاری گسترده و یک تیر طره با بارگذاری متمرکز نشان داده شده است. در هر یک از این تیرها می توان به سادگی، نمودارهای توزیع لنگر خمشی و نیروی برشی را ترسیم نمود.

از نمودارهای فوق دیده میشود که تیرها تحت دو نوع تلاش داخلی شامل لنگر خمشی و نیروی برشی قرار می گیرند. در ادامه مباحث این فصل، نحوه تعیین مقاومت خمشی تیرها را بررسی کرده و موضوع کنترل مقاومت برشی آنها را بعدا انجام خواهیم داد.

مفاهیم اولیه خمش تک محوره

در صورتی که برای طراحی تیر، براساس رفتار ارتجاعی مصالح قبل از جاری شدن عمل کنیم، طراحی الاستیک یا کشسان می باشد.

در این حالت مقدار تنش بر روی محور خنثی صفر است و با دور شدن از محور خنثی، مقدار تنش به صورت خطی افزایش می یابد.

بنابراین حداکثر تنش خمشی ایجاد شده در مقطع عبارت است از:

S: اساس مقطع (مدول مقطع) حول محور خمش (S=I/C)

I: ممان اینرسی حول محور خمش

c: فاصله آخرین تار کششی و یا فشاری تا محور خنثی

M: لنگر خمشی

یادآوری:

در مقاطع نامتقارن محور خنثی در وسط ارتفاع مقطع قرار نمی گیرد (C1≠C2)، در این حالت برای محاسبه تنش خمشی ماکزیمم باید از ماکزیمم مقادیر C1 و C2 استفاده نمود؛ زیرا هر چه مقدار C بیشتر باشد، اساس مقطع کاهش و در نتیجه تنش های ناشی از خمش بزرگتر و بحرانی تر می گردد.

نکات مهم:

1- توجه شود که در مقاطع متقارت حول محور خمش تحت خمش تک محوره، حداکثر تنش فشاری و کشش ناشی از خمش با یکدیگر برابرند.

دقت شود که اساس مقطع بسیاری از پروفیل های رایج، در جداول اشتال مربوط به پروفیل های فولادی آورده شده است.

2- در حالت الاستیک، هنگامی که لنگر خمشی در راستای یکی از محورهای اصلی قرار دارد، محور خمش و محورخنثی بر یکدیگر منطبق خواهد بود.

3- با اعمال لنگر خمشی M بر یک مقطع، نیروی وارد بر قسمت هاشور خورده در شکل زیر برای حالت الاستیک عبارت است از:

Q: ممان استاتیک سطح هاشور خورده نسبت به محور خنثی

4- لنگر خمشی M، به نسبت صلبیت خمشی (EI) بین قسمت های مختلف مقطع توزیع می شود. چنانچه مدول الاستیسیته (E) قسمت های مختلف مقطع یکسان باشد (مقطع همگن باشد)، در این صورت لنگر خمشی به نسبت ممان اینرسی بین اجزاء مقطع توزیع می شود.

به عنوان مثال در مقطع I شکل زیر، سهم بال و جان خمشی عبارت است از:

دقت شود که If و Iw .ممان اینرسی بال ها وجان نسبت به محور خنثی مقطع و It کل ممان اینرسی مقطع میباشد.قابل ذکراست که در یک مقطع I شکل،قسمت عمده لنگر خمشی توسط بال مقطع I شکل تحمل میشود.

مثال: درتیر ورق مقابل تقریبا چنددرصد ازلنگرخمشی حول محور افقی مقطع،توسط بال های مقطع تحمل میشود: عکس

1) 0/95 2) 0/90 3) 0/85 4)0/80

حل:برای پاسخ، باید ممان اینرسی تیر و ممان اینرسی بال فوقانی را نسبت به محور خمشی به دست آوریم.

به عبارتی مجموعا 91درصد ازخمش توسط دوبال تحمل میشود و در نتیجه گزینه 2 صحیح است.

لنگر تسلیم(My) و لنگرپلاستیک(Mp)

لنگر تسلیم (الاستیک): یک مقطع متقارن با شکل دلخواه،مطابق شکل زیررا در نظر بگیرید. با افزایش لنگر خمشی وارد بر مقطع،تنش در تالارهای بالایی و پایینی مقطع افزایش یافته تا در نهایت به Fy میرسد. دراین حالت، لنگر وارده کمترین لنگری است که باعث جاری شدن تارهای مقطع شده و به آن لنگر تسلیم یا جاری شدن مقطع (My) می گویند.

S: اساس مقطع الاستیک(I/C)

لنگر پلاستیک: در صورت افزایش لنگرM در شکل قبل با در نظر گرفتن رفتار الاستو پلاستیک برای مصالح مقطع، محل محور خنثی با توجه به تقارن حول محور خمش ثابت باقی مانده و توزیع تنش مطابق شکل مقابل میشود. دراین حالت، تارهای بیشتری از مقاطع جاری شده اند.

در صورتی که لنگرM را مجددا افزایش دهیم ،در نهایت تمام مقطع جاری شده لنگر وارد بر مقطع دراین حالت، لنگر پلاستیک نام دارد. با فرض اینکه سطح مقطع A و تنش تسلیم مقطع Fy باشد،داریم:

Y: فاصله مرکز سطح ناحیه فشاری از مرکز سطح ناحیه کششی در لحظه رسیدن به لنگر Mp به عبارت دیگر لنگر پلاستیک مقطع عبارت است از:

Z: اساس مقطع پلاستیک(A/2y)

در قسمت های قبلی،با نحوه محاسبه اساس مقطع پلاستیک(Z) آشنا شدیم.

در آنجا گفته شد که محاسبه مقدار Z به سه صورت زیر قابل انجام است:

Yi: فاصله مرکز سطح جزء i ام مقطع از محور خنثی پلاستیک

Ai: مساحت جزء i ام مقطع

Qtop و Qbot: لنگر استاتیک بخش های بالا و پایین محور خنثی پلاستیک نسبت به آن

A: کل مساحت مقطع

Y: مرکز سطح ناحیه فشاری مقطع از مرکز سطح ناحیه کششی آن

دراین رابطه با بحث انجام گرفته، 3 نکته مهم قابل ذکر می باشد:

1. در لحظه وارد شدن لنگر پلاستیک به مقطع، محور خنثی به گونه ای قرار میگیرد که مقطع را به دو نیمه با مساحت های یکسان تقسیم کند.

2. دقت شود که مقطع انتخاب شده در شکل های قبل متقارن میباشد و به دلیل تقارن، محل محور خنثی با افزایش لنگر از مقدار My به Mp تغییر نمیکند، اما اگر مقطع غیر متقارن باشد، همانطور که گفته شد محل محور خنثی در حالت Mp به گونه ای جابه جا میشود که مقطع را به دو نیمه با مساحت های مساوی تقسیم نماید.

3. نیروی کششی T و فشاری C به ترتیب در محل مرکز سطح نیمه کششی و نیمه فشاری وارد میشود.

در یک مقطع، نسبت لنگر پلاستیک به لنگر حد تسلیم(Mp/My) را ضریب شکل مقطع می گویندکه با S.F نشان داده میشود.

جمع بندی: برای یک مقطع فولادی تحت اثر لنگر خمشی، لنگرهای تسلیم، پلاستیک و ضریب شکل به صورت زیر تعریف میشود:

پارامتر S اساس مقطع الاستیک و پارامتر Z اساس مقطع پلاستیک نام دارد. نحوه تعیین این دو پارامتر را در قسمت های قبل بررسی کردیم.

در انتها برای بدست آوردن نسبت مورد نظر داریم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: فاصله بین محور خنثی الاستیک و پلاستیک و همچنین لنگر پلاستیک (Mp) مقطع نشان داده شده در شکل کدامیک از مقادیر زیر است؟ (Fy=2400 kg/cm2)

1- 4.5 سانتی متر و 10.56 تن متر

2- 4.5 سانتی متر و 11.52 تن متر

3- 5 سانتی متر و 9.66 تن متر

4- 5 سانتی متر و 11.52 تن متر

حل: ابتدا در حالت الاستیک برای بدست آوردن محل محور خنثی به محاسبه مرکز سطح مقطع می پردازیم:

درحالت پلاستیک، محور خنثی در مقطع به گونه ای قرار می گیرد که مقطع را به دو نیمه به مساحت یکسان تقسیم نماید، بنابراین با توجه به مساحت یکسان بال و جان،نتیجه می شود که محور خنثی از محل اتصال بال و جان مقطع می گذرد و داریم:

برای محاسبه لنگر پلاستیک نیز داریم:

بنابراین گزینه 1 صحیح است.

ضریب اصلاح کمانش پیچشی – جانبی (Cb)

در پست بعدی خواهیم دید که وقتی یک تیر فولادی تحت اثر لنگر خمشی قرار می گیرد، ممکن است حالتی به نام کمانش پیچشی – جانبی در عضو ایجاد شود.

آیین نامه برای در نظر گرفتن این موضوع در بحث تعیین مقاومت خمشی تیرها، پارامتری به نام ضریب اصلاح کمانش پیچشی-جانبی (Cb) را معرفی می کند.

این پارامتر در واقع بیانگر آن است که نمودار لنگر خمشی تیر در طول آن چگونه تغییر می کند، زیرا نحوه تغییرات لنگر خمشی تیر در طول آن می تواند بر مقاومت خمشی مقطع اثرگذار باشد.

برای اعضای با مقطع دارای یک محور تقارن و با انحنای ساده و خمش حول محور قوی و برای کلیه اعضاء با مقطع دارای دو محور تقارن، ضریب اصلاح کمانش پیچشی – جانبی (Cb) در نمودار لنگر خمشی غیر یکنواخت در حد فاصل دو مقطع مهار شده از رابطه زیر تعیین می شود.

که در آن:

Mmax: قدر مطلق لنگر خمشی حداکثر در حد فاصل دو مقطع مهار شده

MA: قدر مطلق لنگر خمشی در نقطه 1/4 در حد فاصل دو مقطع مهار شده

MB: قدر مطلق لنگر خمشی در نقطه 1/2 در حد فاصل دو مقطع مهار شده

MC: قدر مطلق لنگر خمشی در نقطه 3/4 در حد فاصل دو مقطع مهار شده

تبصره 1: برای تیرهای طره ای که انتهای آزاد آنها مهار نشده است، Cb مساوی واحد می باشد.

تبصره 2: برای اعضای با مقطع دارای یک محور تقارن و با انحنای مضاعف، ضریب اصلاح کمانش پیچشی – جانبی (Cb) باید به شرح زیر با ضریب Rm اصلاح شود.

دقت کنید که در هر صورت، مقدار Cb اصلاح شده نباید از 3 بزرگتر در نظر گرفته شود.

که در آن:

Iy: ممان اینرسی حول محور اصلی y و Iymin: ممان اینرسی بال ضعیف (کوچکتر) مقطع حول محور اصلی y

تبصره: برای اعضای خمشی با مقطع نامتقارن، Cb را می توان به طور محافظه کارانه مساوی واحد در نظر گرفت.

دو نکته:

1- برای اعضای با مقطع دارای یک محور تقارن و با انحنای مضاعف، حالت حدی کمانش پیچشی – جانبی باید برای هر دو بال کنترل شود.

مقاومت خمشی موجود باید بزرگتر یا مساوی لنگر خمشی حداکثر که در بال مورد نظر فشار ایجاد می کند باشد.

2- منظور از انحنای ساده یا انحنای مضاعف در یک تیر تحت اثر خمش، در شکل های زیر مشخص شده است.

توجه: در جدول زیر مقدار پارامتر Cb را برای حالت های ساده شده بیان کنید.

مثال: چنانچه تیر دو سر ساده AB(شکل مقابل)درتکیه گاه ها و وسط دهانه دارای مهارجانبی باشد،ضریب اصلاح کمانش پیچشی-جانبی (Cb) به کدام یک از مقادیر زیر نزدیک تر است؟ (از اثروزن تیر صرف نظر شود.)

1) 1/0 2) 1/32 3) 1/67 4) 2/33

حل: برای محاسبه ضریبCb، ابتدا باید نمودار لنگر خمشی تیر رسم شود. سپس این نمودار برای فاصله بین دو مهار جانبی(یعنی یک تکیه گاه و وسط دهانه) بررسی کرده که به صورت مثلثی می باشد و داریم:

دقت: توجه داریم که Cb باید در حد فاصل دومقطع مهار شده محاسبه شود که دراین سوال تکیه گاه سمت راست یا چپ و وسط تیر میباشند و به همین دلیل نصف نمودار لنگر خمشی بررسی شد.

بنابراین گزینه(3) صحیح است.

دراین تست شکل نمودار خمشی در فاصله بین دو مهار جانبی( از تکیه گاه تا وسط دهانه)، به صورت مثلثی است. پس به راحتی میتوان با استفاده از ردیف (6)جدول مقدار Cb=1/67 را بدون انجام محاسبات نیز تعیین کرد.

مثال:برای تیر دوسر ساده شکل مقابل ، چنانچه تکیه گاه های جانبی در نقاط تکیه گاهی وجود داشته باشند،ضریب یکنواختی نمودار لنگر(Cb) کدام یک از مقادیر زیراست؟

1)Cb=1

2)Cb=1/32

3) Cb=2/3

4)Cb=0/85

حل: طبق رابطه Cb داریم:

حال با توجه به نموار لنگر در تیر می توان مقدار لنگر های مورد نیاز برای محاسبه Cb را به دست آورد. توجه کنید که تیر بین دو تکیه گاه مهارنشده است.

نکته: برای تیر دو سر ساده تحت بار متمرکز در وسط دهانه، مقدار Cb=1/32 میباشد و به مقدار بار و طول دهانه بستگی ندارد.بنابراین گزینه (2) صحیح است.

بدون انجام محاسبات نیز میتوان با رجوع به جدول ازردیف (5) آن، مقدار Cb=1/32 را تعیین کرد،زیرا نمودار لنگر خمشی بین دو مهار جانبی به صورت Δ میباشد.

مثال:نمودار لنگر خمشی یک تیر فولادی IPE300 به طول 4m به صورت زیر میباشد.در صورتی که تیر در تکیه گاه ها و در وسط دهانه دارای مهار جانبی باشد، ضریب اصلاح کمانش پیچشی-جانبی (Cb) به کدام یک از مقادیر زیر نزدیک تر است؟

1)3/0 2)1/2 3)2/0 4)2/2

حل: ضریب اصلاح کمتنش پیچشی -جانبی (Cb) در نمودار لنگر خمشی غیر یکنواخت در حد فاصل دو مقطع مهار شده از رابطه زیر تعیین میشود:

با توجه به اینکه تیر در تکیه گاه ها و وسط دهانه دارای مهار جانبی است،مقادیرMc، Mb، Ma که به ترتیب مربوط به قدر مطلق لنگر خمشی در نقاط 1/4،1/2 و 3/4 طول مهار نشده اند،به صورت زیر محاسبه میشوند:

بنابراین گزینه (4) صحیح است.

برای حل سریع تر می توان از ردیف چهار جدول استفاده کرد.

مثال: در تیر شکل زیر، کدام رابطه مقایسه ضریب یکنواختی لنگر را در قسمت های AB و BC و CD تیر مشخص می کند؟ تیر در نقاط A و B و C و D دارای تکیه گاه جانبی بال فشاری است)

حل:

ابتدا این تیر را تحلیل کرده و نمودار لنگر خمشی آن را رسم می کنیم:

حال کافی است با استفاده از جدول، مقدار Cb را در هر محدوده مورد نظر تعیین کنیم.

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: در تیر زیر، ضریب یکنواختی نمودار لنگر (Cb) را محاسبه کنید ( تیر بدون تکیه گاه جانبی می باشد)

1- 2.25 2- 2.7 3- 3 4- 3.45

حل:

برای حل این تست، ابتدا باید تیر را تحلیل کرده و سپس نمودار لنگر خمشی آن را رسم کنیم.

حال با توجه به اینکه تیر بدون تکیه گاه جانبی است، باید مقادیر لنگرهای مورد نیاز را در کل طول تیر محاسبه کنیم. دقت کنید که در محاسبه این لنگرها، قدر مطلق لنگر مورد نظر بوده و علامت لنگر مهم نیست.

حال برای محاسبه Cb داریم:

توجه: هر چند این تیر دارای انحنای مضاعف است، اما از آنجا که مقطع تیر داده نشده است نیازی به محاسبه پارامتر Rm و اصلاح Cb با استفاده از آن نیست.

اما با توجه به مطالب گفته شده مقدار ضریب Cb به عدد 3 محدود می شود و هر چند در رابطه بالا، Cb مقدار 3.45 بدست آمده است اما گزینه 3 صحیح می باشد.

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

شعاع ژیراسیون موثر در کمانش پیچشی جانبی (rts)

در برخی از معادلات تعیین مقاومت خمشی مقاطع، پارامتر rts وجود دارد که با نام شعاع ژیراسیون موثر در کمانش پیچشی جانبی شناخته می شود.

رابطه کلی برای محاسبه این پارامتر به صورت زیر می باشد:

پارامترهای مورد استفاده در این رابطه عبارتند از:

Iy: ممان اینرسی مقطع حول محور y ( محور ضعیف )

Sc: اساس مقطع الاستیک حول محور X (محور قوی )

Cw: ثابت تابیدگی که با نحوه محاسبه آن در قسمت های قبل آشنا شدیم.

در مورد پارامتر rts، چند حالت خاص وجود دارد که محاسبه آن را ساده تر می کند. این حالت ها عبارتند از:

1- برای مقاطع I شکل با دو محور تقارن، بوده و در این صورت رابطه rts به صورت زیر ساده می شود.

2- برای مقاطع I شکل با دو محور تقارن، پارامتر rts را می توان به صورت محافظه کارانه برابر شعاع ژیراسیون مقطعی شامل بال فشاری مقطع و یک ششم جان نسبت به محور مار بر جان (محور عبوری از جان) در نظر گرفت. بر این اساس رابطه زیر بدست می آید:

3- برای مقاطع I شکل با یک محور تقارن، رابطه زیر برای تعیین شعاع ژیراسیون موثر در کمانش پیچشی جانبی استفاده می شود:

پارامترهای مورد استفاده در رابطه فوق عبارتند از:

h: فاصله بین شروع گردی ریشه جان به بال برای نیمرخ های نورد شده و فاصله آزاد بین دو بال برای مقاطع ساخته شده از ورق

ho: مرکز تا مرکز بال ها d: ارتفاع کلی مقطع bfc: پهنای بال فشاری

tfc: ضخامت بال فشاری tw: ضخامت جان

aw: نسبت دو برابر مساحت جان تحت فشار به مساحت کلیه اجزای بال فشاری، یعنی

hc: دو برابر فاصله محور خنثی الاستیک تا وجه داخلی بال فشاری

4- برای مقاطع I شکل با یک محور تقارن، rt را می توان به طور محافظه کارانه مساوی شعاع ژیراسیون بال فشاری به علاوه 1/3 ناحیه فشاری نسبت به محور ضعیف مقطع (محور y) در نظر گرفت. به عبارت دیگر داریم:

5- برای مقاطع I شکل با بال فشاری غیر مستطیلی نظیر بال های تقویت شده با ورق یا ناودانی، پارامتر rt برابر شعاع ژیراسیون مقطعی شامل مجموع بال فشاری و یک سوم ناحیه فشاری جان نسبت به محور مار بر جان تیر (محور y) می باشد.

مثال: مقطع زیر تحت خمش حول محور قوی است. مقدار شعاع ژیراسیون موثر(rts) به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟ (فولاد از نوع ST37 )

1- 25 میلی متر 2- 50 3- 85 4- 100

حل: در این سوال با استفاده از رابطه تقریبی که برای مقاطع I شکل با دو محور تقارن داده شده است داریم:

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

در صورت انجام محاسبات دقیق برای مقطع عمود مورد نظر داریم:

مثال: تیر شکل زیر را با مقطع نشان داده شده در نظر بگیرید. شعاع ژیراسیون موثر این مقطغ در کمانش پیچشی جانبی چند میلی متر است؟ (Fy=360MPa)

1- 104 2- 108 3- 112 4- 117

حل: تیر مورد نظر در این تست، به صورت دو سر مفصل بوده و نیرویی در جهت رو به بالا به آن وارد می شود بنابراین لنگر ایجاد شده در این مقطع به صورت منفی است و در نتیجه بال فشاری مقطع، بال پایینی می باشد.

حال می توان پارامترهای هندسی مورد استفاده در رابطه rt را تعیین کرد.

توجه: مقطع مورد نظر این تست، دارای یک محور تقارن است و به همین دلیل جهت لنگر خمشب آن دارای اهمیت می باشد.

شایان ذکر است که در صورت محاسبه مقدار rt از رابطه تقریبی مقدار 110.5 بدست می آید.

بنابراین گزینه 3 صحیح است.

مثال: در مقطع شکل زیر که تحت اثر لنگر خمشی مثبت قرار دارد، موقعیت محور خنثی الاستیک نشان داده شده است. شعاع ژیراسیون موثر این مقطع در برابر کمانش پیچشی جانبی تقریبا چقدر است؟

1- 60 میلی متر 2- 65 3- 70 4- 75

حل:

مقطع مورد نظر در این تست، تحت لنگر خمشی مثبت بوده و بنابراین بال فشاری آن، بال فوقانی می باشد.

از آنجا که بال فشاری این مقطع غیر مستطیلی است (با ورق تقویتی است)، باید پارامتر rt آن به صورت شعاع ژیراسیون مقطعی شامل مجموع بال فشاری و یک سوم ناحیه فشاری جان نسبت به محور عبوری از وسط جان یا اصطلاحا مار بر جان (محور y) بدست آید.

برای این منظور می توان ناحیه مورد نظر را مشابه شکل زیر نشان داد.

حال باید مساحت ناحیه مورد نظر مقطع و همچنین ممان اینرسی این ناحیه نسبت به محور مار بر جان (محور y) را محاسبه کرده و از این طریق شعاع ژیراسیون آن را بدست آورد.