مفاهیم اولیه خمش

مفاهیم اولیه خمش

بررسی ضرروت استفاده از آرماتور در مقاطع بتن آرمه

یک تیر بتنی غیر مسلح (بدون آرماتور) مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. اگر به این تیر لنگر خمشی مثبت با مقدار M وارد شود، قسمت پایین مقطع تحت کشش و قسمت بالای مقطع تحت فشار قرار می گیرد. در این حالت تا قبل از ترک خوردن بتن، تنش های حداکثر کششی و فشاری با یکدیگر برابر بوده و به سادگی با کمک روابط مقاومت مصالح می توان مقدار تنش حداکثر در تارهای فوقانی و تحتانی مقطع را به صورت زیر محاسبه کرد.

اما مشکل آنست که در تیرهای بتنی غیر مسلح به علت پایین بودن مقاومت کششی بتن، مقطع در ناحیه کششی تحت اثر لنگرهای خمشی نسبتا کوچک ترک خورده و دیگر تحمل لنگر خمشی بیشتر را ندارد. این در حالی است که از پتانسیل فشاری استفاده چندانی نشده است. به همین دلیل تیرهای بتنی غیر مسلح (بدون میلگرد) به علت ترک خوردن نسبتا سریع در ناحیه کششی در عمل کارایی ندارند.

در مهندسی عمران برای جبران این ضعف و تقویت بتن در ناحیه کششی، از آرماتورهای فولادی در این ناحیه استفاده می شود.

برای درک بهتر این موضوع دو تیر زیر در نظر بگیرید:

دقت شود که مقدار آرماتور مورد نیاز در این تیرها به مقدار لنگر خمشی وارد بر تیر بستگی داشته که نحوه محاسبه آن را بعدا خواهیم گفت.

تذکر: فرض کنید که میلگردهایی با مساحت A_s در ناحیه کششی مقطع نشان داده شده قرار گرفته اند. پارامترهای زیر برای تحلیل مقطع در بتن آرمه، کاربرد زیادی دارند.

فرضیات اصل خمش در مقاطع بتن آرمه

در بررسی رفتار تیرهای بتن آرمه تحت خمش، از سه فرض اساسی زیر استفاده می شود:

1- اصل برنولی:

بر طبق این اصل مهم در مقاومت مصالح، صفحات عمود بر محور طولی عضو (مانند AB و CD )،  بعد از خمش نیز به صورت صفحه و عمود بر محور طولی عضو باقی می مانند. این اصل در محدوده رفتار خطی و غیر خطی مقطع معتبر است.

مهمترین نتیجه ای که از این اصل گرفته می شود، این است که کرنش (تغییر طول نسبی) در تارهای مقطع بتنی و همچنین در فولادها، به صورت خطی تغییر کرده و مقدار آن متناسب با فاصله تار مورد نظر یا ردیف فولاد از محور خنثی تعیین می شود. با توجه به این موضوع، نمودار توزیع کرنش برای یک مقطع بتنی به صورت زیر است:

محل صفر شدن کرنش در مقطع عرضی همان تار خنثی هست که با N.A نشان داده می شود.

2- پیوستگی کامل بین بتن و فولاد:

چسبندگی کامل بین بتن و فولاد و عدم لغزش بین آنها، از فرضیات بسیار مهم در طراحی سازه های بتن آرمه است. با این فرض، کرنش فولاد و بتن مجاور آن همواره با یکدیگر یکسان فرض می شود. شایان ذکر است که تامین چسبندگی بین میلگردهای فولادی و بتن از وظایف بسیار مهم طراحی بوده که جلوتر آموزش خواهیم داد.

نمودار تنش – کرنش:

همانطور که در فصل قبل به طور کامل بررسی کردیم نمودار تنش کرنش برای فولاد و بتن مطابق شکل های زیر در نظر گرفته می شود.

با کمک گرفتن از این نمودار ها تحلیل مقاطع بتن آرمه در خمش ساده تر می شود، یعنی با دانستن کرنش در هر تار از مقطع به سادگی می توان تنش ایجاد شده در بتن و فولاد را بدست آورد. دقت شود در نمودار فولاد تنش های بزرگتر از Ԑ_y ثابت باقی مانده و برابر f_y است.

تحلیل نمودار لنگر انحنا در یک تیر تحت خمش

برای درک رفتار یک تیر بتن آرمه تحت خمش، می خواهیم تیر را از لحظه شروع بارگذاری تا لحظه گسیختگی و فرو ریزش آن بررسی کنیم. به همین منظور یک تیر دو سر ساده را که تحت اثر دو بار متمرکز P در فواصل کمتر از یک سوم انتهایی (L/3) قرار گرفته است، مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.

می دانیم تحت اثر این بارگذاری، در ناحیه 1/3 میانی تیر فوق، خمش ثابت PL/3 ایجاد می شود. در این حالت بارهای متمرکز P را در شرایط آزمایشگاه از مقدار صفر تا حدی که باعث گسیختگی و انهدام تیر شود افزایش می دهیم و نمودار لنگر – انحنای تیر را در طول این افزایش رسم می کنیم.

البته در مراجع برای بررسی رفتار خمشی یک تیر، از نمودار لنگر – انحنا کمک گرفته می شود. انحنای تیر نشان داده شده در شکل زیر با طول یک متر، در خمش خالص به صورت زیر محاسبه می شود:       

بر این اساس نمودار تقریبی لنگر انحنای تیر ( M-φ ) مورد بررسی به صورت زیر بدست می آید:

ناحیه AB: در این ناحیه مقدار لنگر نسبتا کم بوده و کل مقطع (بتن فشاری، کششی و فولاد) در برابر لنگر خمشی وارده مقاومت می کند. همانطور مشاهده می شود رابطه بین لنگر و انحنای تیر در این ناحیه به شکل خطی می باشد. با توجه به رفتار خطی مصالح مقطع، این ناحیه، ناحیه الاستیک نامیده می شود.

بررسی وضعیت مقطع در ناحیه الاستیک

در ابتدای بارگذاری، نیروی P نسبتا کوچک بوده و لنگر خمشی ایجاد شده در مقطع نیز کم است. با توجه به این موضوع تنش های کششی ایجاد شده در بتن آنقدر کوچک بوده که بتن واقع در ناحیه کششی مقطع ترک نمی خورد. در این مرحله همه اجزای مقطع یعنی در ناحیه فشاری و کششی و همچنین فولاد، رفتار خطی دارند. این موضوع یعنی می توان نوشت:

ناحیه BC: در این ناحیه بتن در کشش ترک خورده و تحمل لنگر بر عهده فولاد کششی و بتن فشاری است. در این ناحیه، شیب نمودار لنگر – انحنا کاهش می یابد که این موضوع ناشی از کاهش سختی به دلیل ترک خوردگی آن است. این ناحیه معرف حالت الاستوپلاستیک است.

بررسی وضعیت مقطع در ناحیه الاستوپلاستیک

در این ناحیه به وضعیت جالبی در مقطع رسیده ایم. در این حالت در ناحیه کششی تنها فولاد و در ناحیه فشاری بتن مقطع تنش های وارده را تحمل می کنند و هر دو نیز رفتار خطی دارند؛ هر چند ترک های کششی در عمق نفوذ پیدا کرده اند. به عبارتی در این حالت، مقطع رفتار خطی داشته و ترک خورده است. مطابق شکل زیر:

دلیل اصلی پایان این ناحیه، نقض شدن یکی از دو رابطه فوق است که به معنای پایان رفتار خطی در مقطع است.

ناحیه CD: همانطور که در نمودار لنگر – انحنا مشاهده می شود، در طول این ناحیه مقدار انحنای تیر افزایش چشمگیری دارد، در حالیکه تفاوت زیادی در لنگر قابل تحمل رخ نمی دهد. در انتهای

این ناحیه یعنی نقطه D، گسیختگی تیر با خرد شدن بتن در فشار و رسیدن کرنش بتن به Ԑ_cu اتفاق می افتد.  در این ناحیه رفتار مقطع به صورت پلاستیک در نظر گرفته می شود.

بررسی وضعیت مقطع در ناحیه پلاستیک

شرط خرابی مقطع در حالت پلاستیک، رسیدن کرنش ماکزیمم فشاری بتن به کرنش Ԑ_cu است و در طول ناحیه پلاستیک، مقطع هنوز به گسیختگی نهایی نرسیده است. در نقطه D کرنش فشاری بتن به Ԑ_cu رسیده و مقطع منهدم می شود.

نمودار تنش – کرنش در ارتفاع مقطع، در آخرین لحظه یعنی نقطه D به صورت شکل نشان داده شده در صفحه پایین است( حالت نهایی). دقت شود که طراحی مقطع بتن آرمه در خمش، برای این لحظه انجام می شود.

سوال: به نظر شما کدام یک از سه ناحیه ذکر شده در طراحی تیرها بر اساس مقاومت، حائز اهمیت می باشد؟

برای پاسخ به این سوال ابتدا باید به این نکته توجه کنید که مقطع اعضای خمشی بر اساس حداکثر لنگر خمشی وارده بر آنها طراحی میشوند، یعنی باید قادر باشند بیشترین لنگر خمشی وارده را بدون اینکه دچار گسیختگی گردند تحمل نمایند.حال پاسخ به سوال بالا با توجه به نمودار لنگر – انحنا بسیار ساده خواهد بود. همانطور که حدس زده اید ناحیه CD که معرف حالت پلاستیک می باشد، در طراحی تیرها اهمیت ویژه ای دارد. لنگر قابل تحمل مقطع در این ناحیه، لنگر خمشی اسمی نامیده شده و در طراحی تیرها مبنای محاسبه قرار می گیرد.

با توجه به اهمیت ناحیه پلاستیک در طراحی تیرها، ابتدا به شرح و بررسی انواع شکست در لحظه نهایی می پردازیم و در قسمت های بعدی به نواحی الاستیک و الاستوپلاستیک هم می پردازیم.

تعریف نوع گسیختگی برای لحظه شکست

تعریف نوع گسیختگی برای لحظه شکست (نقطه D) به جاری شدن یا نشدن فولادهای مقطع بتن آرمه بستگی داشته که این موضوع به صورت زیر در نظر گرفته می شود.

1- شکست ترد:

اگر در ناحیه کششی مقطع مقدار فولاد زیاد باشد، تنها قسمتی از ظرفیت کششی میلگردها (توان میلگردها) برای تحمل لنگر وارد بر مقطع کافی بوده و این موضوع یعنی دراین حالت نیازی نیست که فولاد به تنش f_y برسد تا بتواند لنگر وارده را تحمل کند. بنابراین نمودار تنش -کرنش در ارتفاع مقطع، در لحظه گسیختگی مطابق شکل زیر است:

2- شکست نرم:

اگر در ناحیه کششی مقطع مقدار فولاد کم باشد، از تمام ظرفیت کششی میلگردها برای تحمل لنگر باید استفاده شود و فولادها قبل از رسیدن بتن به ظرفیت نهایی جاری می شوند (به زبان ساده تر بتن آنقدر قوی هست که می تواند قبل از خراب شدن، باعث جاری شدن فولادها گردد)  دراین حالت از شکست در لحظه نهایی که بتن به کرنش Ԑ_cu   می رسد، کرنش در فولاد از Ԑ_y بیشتر است. نمودار تنش کرنش در ارتفاع مقطع، در این حالت مطابق شکل زیر است:

3- شکست بالانس:

مرز بین شکست ترد و نرم، شکست بالانس نام دارد. در این حالت درست در لحظه نهایی یعنی دقیقا هنگامی که بتن به Ԑ_cu می رسد، کرنش در فولادس کششی برابر Ԑ_cu  می شود. نمودار تنش کرنش در ارتفاع مقطع در این حالت، مطابق شکل زیر است:

مقدار فولاد در این حالت A_sb نامیده شده که برای هر مقطع قابل محاسبه است. در واقع  A_sb مرز بین شکست ترد و نرم در مقطع است. محاسبه A_sb یکی از مهمترین مواردی است که باید برای یک مقطع محاسبه شود که در قسمت های جلوتر بررسی می کنیم.

نکات مهم و کاربردی

در تکمیل حالت های ارائه شده می توان به موارد زیر اشاره کرد:

• اگر مساحت فولادها از A_sb بیشتر باشد، آرماتورها در مقطع جاری نمی شوند. در این حالت بتن ناحیه فشاری در لحظه گسیختگی، بدون هشدار قبلی (جاری شدن فولاد) به طور ناگهانی خرد می شود.

شرط شکست ترد : A_s > A_sb                مقطع پر فولاد است.

• اگر مساحت فولاد ها از A_sb کمتر باشد، آرماتورها قبل از لحظه نهایی جاری می شوند. باتوجه به نمودار لنگر – انحنا جاری شدن فولادها باعث افزایش زیاد انحنای تیر و باز شدن ترک ها شده که نوعی هشدار برای خرابی به شمار می رود.

شرط شکست نرم یا شکل پذیر : A_s < A_sb              مقطع کم فولاد است.

دقت کنید که شکست ترد دارای علائم هشدار دهنده نیست و آیین نامه ها از این نوع شکست پرهیز می کنند.

با دقت در نمودار لنگر – انحنا برای حالت های شکست نرم و ترد در شکل زیر نیز می توان به مفهوم هشدار دهنده بودن شکست نرم پی برد.

بعد از جاری شدن مقطع در حالت شکست نرم، انحنا و خیز تیر افزایش یافته که به عنوان هشدار دهنده قبل از شکست در نظر گرفته می شود.

مثال: نمودار کرنش به ازای سه مقدار برای یکی مقطع بتن آرمه تحت خمش در لحظه نهایی، مطابق شکل زیر است:

الف) کدام یک از این خطوط به ترتیب می توانند نشان دهنده شکست متوازن، ترد و نرم باشند؟

ب) در کدامیک از انواع شکست، ارتفاع ناحیه فشاری بیشتر است؟

حل:

می دانیم هنگامی که مقطع در لحظه نهایی قرار می گیرد، کرنش بتن فشاری در آن برابر Ԑ_cu = 0.003 می شود. در این حالت با توجه به مقدار کرنش کششی ایجاد شده در فولادها، سه نوع گسیختگی ممکن است در مقطع رخ دهد:

• شکست بالانس (متوازن) Ԑ_s = Ԑ_y
• شکست نرم (شکل پذیر) Ԑ_s < Ԑ_y
• شکست ترد (ناگهانی ) Ԑ_s >  Ԑ_y

بنابراین با مقایسه مقدار کرنش فولادها در لحظه نهایی برای این سه حالت می توان نوشت:

ب) با توجه به نمودار کرنش های رسم شده، ارتفاع محور خنثی از دورترین تار فشاری (x) در حالت شکست نرم کمتر از دو حالت دیگر و در حالت شکست ترد، بیشتر از دو حالت دیگر است. این موضوع یعنی بیشترین ارتفاع ناحیه فشاری در حالت شکست ترد ایجاد می شود. توجه کنید که ارتفاع محور خنثی از دورترین تار فشاری در حالت شکست بالانس، با X_b نشان داده می شود.

فرضیات اصلی طراحی در ناحیه پلاستیک مطابق آیین نامه

به طور کلی تحلیل مقطع در حالت پلاستیک و در لحظه نهایی، بر مبنای هفت اصل ساده و آیین نامه ای انجام می شود که در ادامه به شرح آن می پردازیم.

اصل 1: تعادل نیرویی

مطابق اصل تعادل، در هر مقطع لازم است تعادل بین نیورهای موثر برقرار گردد. برای درک بهتر این موضوع شکل مقابل که مقطع یک تیر آهن را تحت لنگر خمشی M نشان می دهد در نظر بگیرید.

با توجه به اینکه هر لنگر خمشی عملا از یک کوپل نیرو (یعنی دو نیروی مساوی و مختلف الجهت که فاصله ای مشخص نسبت به یکدیگر اعمال می شوند) ایجاد می شود لذا می توان مقطع بالا را به صورت شکل زیر در نظر بگیرید.

C نیروی فشاری، T نیروی کششی و Z فاصله است:

مطابق شکل باید نیروهای فشاری و کششی معادل با لنگر خمشی M باشند. که به این منظور باید دو شرط زیر برقرار باشد:

نیروی فشاری = نیروی کششی          C=T

لنگر خمشی = نیرو x بازو                   M=C x Z = T x Z

جهت اعمال این نیروها باید به نحوی باشد که جهت لنگر خمشی اولیه M حفظ شود، یعنی لنگر خمشی حاصل از CxZ یا TxZ که در شکل بالا هست باشد.

اصل 2 – سازگاری کرنش ها و توزیع آنها

مقدار کرنش در تارهای مقطع به صورت خطی تغییر کرده و متناسب با فاصله آن تار از محور خنثی می باشد.

توضیح: همانطور که از مفاهیم مقاومت مصالح به خاطر دارید، کرنش در المان برابر نسبت مقدار تغییر طول هر تار از المان به اولیه آن مقدار دارید، کرنش در المان برابر نسبت مقدار تغییر طول هر تار از المان به طول اولیه آن می باشد. از طرفی محور خنثی نیز معرف محلی از مقطع است که مقدار کرنش درآن برابر صفر می باشد. در این صورت در یک مقطع بتن آرمه می توان نمودار کرنش ها را به صورت زیر رسم می کنیم.

X عمق محور خنثی از دورترین تار فشاری.

با توجه به توزیع خطی کرنش در مقاطع بتن آرمه می توان با استفاده از روابط ساده ریاضی مقدار کرنش را در هر ارتفاعی از مقطع بدست آورد.

اصل 3 – کرنش حداکثر بتن

می دانیم مقدار کرنش حداکثر بتن 0.003 می باشد. این حالت معرف لحظه ای است که بتن بیشترین مقدار تغییر شکل را با حفظ مقاومت دارا بوده ولی پس از آن و با اندکی افزایش نیرو، در فشار گسیخته می گردد. در این صورت مقدار کرنش  در دورترین تار فشاری، برابر 0.003 در نظر گرفته می شود.

اصل 4 – مقاومت کششی بتن در خمش

به طور کلی مقاومت کششی بتن در حدود 10 تا 15 درصد مقاومت فشاری آن می باشد. در محاسبات مربوط به خمش به دلیل ناچیز بودن مقدار مقاومت کششی و همچنین بروز ترک های خمشی در بتن، به طور محافظه کارانه از آن صرف نظر می شود.

اصل 5 – رابطه بین تنش و کرنش

رابطه بین تنش و کرنش فشاری را می توان به صورت مستطیلی، ذوزنقه ای، سهمی یا هر شکل و منحنی دیگر در نظر گرفت. به شرط آنکه این نمودارها، با نتایج حاصل از آزمایشات معتبر مطابقت داشته باشند.

در واقعیت نمودار تنش کرنش بتن از هنگام بارگذاری تا لحظه شکست به صورت منحنی معروف صفحه بعد در نظر گرفته می شود.

همانطور که مشاهده می شود محور افقی نشان دهنده مقدار کرنش و محور قائم نشان دهنده مقدار تنش بتن می باشد. مطابق این نمودار، رابطه بین تنش و کرنش از لحظه شروع بارگذاری تا تنشی در حدود 0.45f^’_c تقریبا خطی بوده و پس از آن به صورت منحنی می باشد.مقدار حداکثر تنش هنگامی که کرنش بتن برابر Ԑ₀ که مقدار آن در حدود 0.002 الی 0.0015 می باشد، اتفاق می افتد. همانظور که مشاهده می شود نمودار تا کرنش Ԑ_cu بتن در فشار دچار گسیختگی شده است.

اصل 6 – تقریب نمودار تنش بتن به صورت مستطیلی

به طور کلی به منظور تحلیل مقطع در لحظه نهایی باید بدانیم که کل نیروی فشاری ایجاد شده در بتن چقدر است و در چه محلی اثر می کند. از طرفی تعیین این موضوع با توجه به ماهیت غیر خطی تنش وارد بر بتن در ناحیه فشاری کار نسبتا دشواری است.

در مبحث بتن آرمه ترجیح می دهیم به جای بررسی نمودار غیر خطی نشان داده شده در ناحیه فشاری، مساله را ساده تر کرده و سپس آن را حل کنیم.

معروف ترین مدلی که به عنوان توزیع تنش جایگزین در ناحیه فشاری استفاده می شود، مدل ساده ای به نام بلوک توزیع تنش مستطیلی ویتنی است (این مدل توسط آیین نامه های بتن آمریکا (ACI) و مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 99 نیز استفاده می شود). در این مدل به جای استفاده از توزیع تنش واقعی، از یک بلوک توزیع تنش مستطیلی فرضی استفاده می شود. از آنجایی که در بحث خمش، مقدار نیروی فشاری و محل اثر آن حائز اهمیت است، دو شرط زیر باید لزوما برقرار باشد:

1- مساحت زیر نمودار تنش برای توزیع معادل و واقعی برابر باشد تا هر دو، نیروی یکسانی را ایجاد کنند.

2- مرکز سطح بلوک توزیع تنش معادل (یعنی مرکز اثر نیرو)، بر مرکز سطح توزیع تنش واقعی منطبق باشد.

در مدل ویتنی به جای توزیع تنش واقعی از یک مستطیل تنش با شدت ثابت α₁f’_c و با ارتفاع a=β₁x استفاده می شود.x فاصله محور خنثی مقطع تا دورترین تار فشاری در لحظه نهایی بوده و α₁ و β₁ دو ضریب هستند که برای برقراری دو شرط بالا به وجود آمده اند که صحبت می کنیم راجع به این دو ضریب.

همچنین با کمک بلوک ویتنی، نیروی وارد بر ناحیه فشاری در لحظه نهایی برابر است با:

تذکر: در مسائل این فصل با استفاده از آنچه گفته شد، نمودار تنش در مقطع اعضای خمشی با شکست نرم به صورت زیر رسم می شود:

ضرایب β₁ و α₁  که در محاسبه عمق و شدت بلوک فشاری مستطیلی مورد استفاده قرار گرفته است ضرایبی وابسته به مقاومت فشاری بتن بوده و مطابق جدول زیر بدست می آیند.

تذکر: مقادیر α₁ و β₁ و α₁β₁ در کل فصل خمش کاربرد زیادی در محاسبات دارند که برای افزایش سرعت در پاسخ دهی به سوالات آزمون نظام مهندسی، مقادیر آنها برای رده های بتن متداول از C20 تا C70 در جدول زیر آورده شده است.

اصل 7 – تنش در فولادها

مطابق توضیحات قبلی، رفتار مصالح فولاد که در میلگردهای مقاطع کاربرد دارد، در مباحث بتن آرمه به صورت ساده شده و دو خطی در نظر گرفته می شود. یعنی به صورت نمودار زیر:

E_s: مدول الاستیسیته فولاد که برای انواع فولادها برابر 2×10⁵ مگاپاسکا در نظر گرفته می شود . شیب نمودار بالا تا قبل از رسیدن به کرنش Ԑ_y برابر الاستیسیته می باشد.

مطلب بعدی: بررسی فولاد بالانس، فولاد حداقل و حداکثر در مقطع مستطیلی بتن آرمه

پیج اینستاگرام سیویل 2