بررسی رفتار مقطع بتن آرمه در حالت الاستیک و الاستوپلاستیک

همانطور که طبق نمودار لنگر انحنای تیر مشاهده کردید، در ابتدای بارگذاری و هنگامی که تیر تحت لنگرهای خمشی نسبتا کمی قرار دارد رفتار مقطع به صورت الاستیک یا خطی درنظر گرفته می شود.

در این حالت تمام مقطع شامل بتن و آرماتور در تحمل لنگر وارده نقش دارند. در این حالت تمام مقطع شامل بتن و آرماتور در تحمل لنگر وارده نقش دارند.

در این حالت مطابق درس مقاومت مصالح، تنش وارد بر مقطع تحت اثر لنگر خمشی از رابطه σ=MY/I که در آن M لنگر خمشی، y فاصله تار مورد نظر از محور خنثی و I ممان اینرسی مقطع است به دست می آید.

از طرفی با توجه به اینکه در مقطع از دو نوع مصالح مختلف استفاده شده است، پیش از انجام محاسبات لازم است مقطع به صورت همگن تبدیل شود، یعنی در این حالت با استفاده از نسبت مدول الاستیسیته مصالح قوی تر (فولاد) به مصالح پایه (بتن) مقطع همگنی به دست آمده که بر اساس این مقطع جدید و با توجه به روابط بین خطی بین تنش و کرنش، می توان نیروهای وارد بر مقطع را محاسبه کرد.

شکل زیر مقطع یک تیر بتن آرمه را که به صورت همگن تبدیل شده است نمایش می دهد:

همانطور که در شکل های ارائه شده مشاهده می شود، با توجه به رفتار خطی مصالح در این حالت، نمودار تنش ها در فولاد و بتن به صورت خطی در نظر گرفته شده است. در این حالت محور خنثی از مرکز سطح عبور کرده و برای محاسبه پارامترهای مختلف مقطع با استفاده از روابط مقاومت مصالح می توان نوشت:

در این صورت مقادیر تنش های مقطع برابر است با:

در صورتی که مقدار لنگر وارده در این مرحله افزایش یابد و تنش حداکثر کششی بتن از مدول گسیختگی بتن یعنی f_r (معادل حداکثر تنش کششی که بتن می تواند تحمل کند) فراتر رود؛ اولین ترک های ناشی از کشش در مقطع ایجاد می شود. به عبارت دیگر مصالح بتن بیش از این قادر به تحمل تنش کششی نبوده و دچار ترک خوردگی می شود، به همین دلیل در انتهای این ناحیه، لنگر ترک خوردگی یا M_cr نامیده می شود.

نکته مهم:

معمولا رفتار بتن تا تنشی در حدود 0.45f’_c به صورت خطی در نظر گرفته می شود. بنابراین در ناحیه الاستیک تنش های کششی و فشاری بتن به مقادیر زیر محدود می شوند:

f_c,max<0.45f’_c , f_t,max<f_r

از طرفی فولاد ها نیز در این مرحله جاری نشده اند. بنابراین:

f_r<f_y

دقت شود که از بین سه رابطه فوق، رابطه دوم بحرانی ترین رابطه محسوب می شود و معمولا حاکم بوده و M_cr با استفاده از آن تعیین می شود.

توجه شود که در ناحیه الاستیک آرماتورها تنش کمی را تحمل می کنند و نقش آنها در این ناحیه کمرنگ است. این موضوع مبنای کار آیین نامه در محاسبه M_cr قرار می گیرد.

نحوه محاسبه تقریبی لنگر ترک خوردگی با توجه به ضوابط آیین نامه

با توجه به مبحث نهم، لنگر ترک خوردگی به مقاومت فشاری بتن و هندسه مقطع وابسته بوده و مقدار آن به صورت رابطه زیر بدست می آید:

f_r: مدول گسیختگی بتن، مگا پاسکال.

I_g: ممان اینرسی کل مقطع بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورها، میلی متر به توان چهار.

Y_t: فاصله محور خنثی تا دورترین تار کششی بتن بدون در نظر گرفتن اثر آرماتورها، میلی متر.

f_c’: تنش فشاری مشخصه بتن. مگا پاسکال.

: ضریبی بتن سبک.

تذکر: دقت شود که برای محاسبه پارامترهای I_g و y_t از روابط مقاومت مصالح استفاده می شود. در اینجا برای مقاطع متداول این روابط را آوردیم:

محاسبه y_t: برای محاسبه y_t از همان روش تعیین مرکز سطح مقطع استفاده می کنیم؛ اما به این نکته دقت کنید که مقدار y_t فاصله مرکز سطح تا دورترین تار کششی مقطع می باشد. به طور مثال در سه مقطع بالا تحت لنگر خمشی مثبت، مقدار y_t به ترتیب برابر ، ، می باشد. اما چنانچه مقطع داده شده ترکیبی از چند شکل هندسی باشد، کافیه با تقسیم مقطع به چند شکل ساده و با استفاده از رابطه زیر مقدار y_t را محاسبه کنیم:

به طور مثال در مقطع T شکل مقابل داریم:

نکته بسیار مهم و کاربردی در آزمون نظام مهندسی

با توجه به توضیحات داده شده با روش تعیین y_t آشنا شدید، اما نکته مهم اینجاست که چطور محل دورترین تار کششی و یا به عبارتی ناحیه کششی مقطع را تشخیص دهیم؟ در سوالات نظام مهندسی معمولا یکی از سه حالت زیر رخ می دهد:

1- اگر در سوال هیچگونه اطلاعاتی مبنی بر جهت لنگر داده نشده باشد، فرض می کنیم لنگر خمشی مثبت به مقطع اعمال می شود. تحت لنگر مثبت ناحیه فوقانی مقطع تحت فشار و ناحیه تحتانی مقطع تحت کشش قرار می گیرد. بنابراین مقدار y_t فاصله مرکز سطح مقطع تا وجه تحتانی آن می باشد.

2- در حالت دوم، نوع لنگر خمشی مثبت یا منفی اعمالی به مقطع در سوال مشخص است. چنانچه لنگر خمشی مثبت باشد، روش تعیین y_t مشابه حالت قبل است؛ ولی اگر لنگر منفی به مقطع اعمال شود، ناحیه فوقانی مقطع تحت کشش وناحیه تحتانی مقطع تحت فشار قرار می گیرد. در این صورت برای تعیین y_t فاصله تا وجه فوقانی مقطع مد نظر می باشد.

3- گاهی در سوال گفته می شود که مقطع داده شده مربوط به تیر طره است. با توجه به اینکه تیرهای طره تحت لنگر منفی قرار دارند بنابراین طبق روش 2 که گفته شد مقدار y_t محاسبه شود. دقت کنید که آرماتورهای طولی کششی، همواره در ناحیه کششی مقطع قرار داده می شوند. بنابراین حتی اگر جهت لنگر اعمالی در دو مقطع قرار داده می شوند. بنابراین حتی اگر جهت لنگر اعمالی دردو مقطع مقابل مشخص نباشد، با توجه به آرماتورگذاری نشان داده شده می دانیم مقطع 1 تحت لنگر خمشی مثبت و مقطع 2 لنگر خمشی منفی قرار دارد.

مثال: برای تیر بتن مسلح با مقطع مستطیل شکل با عرض 400 و ارتفاع کل 600 و عمق موثر540 میلی متر با آرماتور کششی 3φ25 از رده S400، لنگر خمشی ترک خوردگی بر حسب kN.m حدودا چقدر است؟ (رده بتن C25 است).

1)74 2)182 3)108 4)58

حل: مطابق روابط گفته شده گذشته:

مثال: در صورت که مطابق شکل A_s=A’_s=5φ25 و رده بتن C25 و نوع فولاد S400 باشد، نسبت لنگر خمشی ترک خوردگی منفی (قسمت فوقانی مقطع تحت کشش) به لنگر خمشی ترک خوردگی مثبت (قسمت پایین مقطع تحت کشش) به کدامیک از مقادیر زیر نزدیک تراست؟ (واحدها بر حسب میلی متر است).

1)0.9 2)1.6 3)0.75 4)1.35

حل: می دانیم پارامترهای f_r و I_g فقط به مصالح و هندسه مقطع وابسته بوده و به جهت لنگر ارتباطی ندارند. بنابراین برای پاسخ به این سوال کافیست مقدار y_t را در دو حالت ترک خوردگی منفی و مثبت محاسبه کنیم.

با توجه به حالت 2 از نکته مهم گفته شده، فاصله مرکز سطح نسبت به وجه فوقانی مقطع را محاسبه می کنیم:

تذکر: برای محاسبه y_t برای لنگر منفی، مرکز سطح مقطع نسبت به بالای آن بدست آمده است.

مثال: نسبت لنگر خمشی مثبت ترک خوردگی به لنگر خمشی منفی ترک خوردگی یک تیر با مقطع شکل زیر به کدامیک از مقادیر زیر نزدیکتر است؟ (رده بتن C25 و d=430 mm )

1)1.39 2)1.12 3)0.72 4)0.58

حل: مشابه سوال قبل با تغییر جهت لنگر فقط فاصله محور خنثی تا دورترین تار کششی تغییر می کند بنابراین داریم:

با فرض مبدا مختصات در وجه تحتانی مقطع، محل محور خنثی را به صورت زیر بدست می آوریم:

با توجه به اینکه تحت لنگر خمشی مثبت، +y_t فاصله محور خنثی تا وجه تحتانی مقطع می باشد، داریم:

مثال: به مقطع بتن آرمه مقابل لنگر خمشی 30 kN.m اعمال می شود. تحت این لنگر کدامیک از گزینه های زیر در خصوص وضعیت مقطع صحیح می باشد؟ (فولاد S400 و بتن رده C25 جرم مخصوص بتن 1800 کیلوگرم بر متر مکعب است)

1)آرماتورها جاری می شوند. 2)مقطع گسیخته می شود. 3)مقطع ترک نمی خورد. 4)تنش ها غیر خطی می شوند.

حل: برای پیدا کردن پاسخ صحیح کافیست ابتدا مقدار لنگر ترک خورده را محاسبه کرده و با لنگر اعمالی مقایسه کنیم. توجه داشته باشید، بدون در نظر گرفتن آرماتورها مقطع فوق کاملا متقارن بوده و مرکز سطح آن دقیقا در وسط ارتفاع یعنی در فاصله 250 = 2/200 + 150 میلی متر قرار دارد.

با توجه به اینکه M=30 kN.m < M_cr=61.39 است بنابراین تحت این لنگر در مقطع ترک خمشی ایجاد نشده و گزینه 3 صحیح است. دقت شود که با توجه به وزن مخصوص داده شده در صورت سوال بتن مورد استفاده از نوع سبک است.

مثال: در دو مقطع زیر نسبت لنگر خمشی مثبت ترک خوردگی مقطع 1 به مقطع 2 کدام است؟ هر دو مقطع از مصالح یکسان استفاده شده است.

1)1.5 2)0.5

3)1 4)2

حل: با توجه اینکه ابعاد و مصالح به کار رفته در هر دو مقطع یکسان است، بنابراین تنها عامل اختلاف در محاسبه لنگر خمشی ترک خوردگی مقدار y_t می باشد. از طرفی به هر دو مقطع لنگر خمشی مثبت اعمال می شود بنابراین داریم:

گزینه 4 صحیح است.

مثال: دال بتن مسلح یک طرفه با تکیه گاه های ساده و به ضخامت 200 میلی متر از بتن رده C25 ساخته شده است. علاوه بر بار ناشی از وزن حدودا به چه میزان بار گسترده یکنواخت اضافی بر روی دال بر حسب kN/m² مقطع از نظر خمش ترک خورده محسوب می شود؟ (دهانه موثر تیر 4 متر بوده و از بتن معمولی استفاده شده است. همچنین مقدار مدول گسیختگی برابر 3 مگاپاسکال در نظر بگیرید).

1)10 2)5 3)3 4)2

حل: مقدار لنگر ترک خوردگی خمشی دال یکطرفه نیز مشابه تیرها به صورت زیر محاسبه می شود:

با توجه به اینکه دال دارای تکیه گاه سادست بنابراین مقدار لنگر خمشی ناشی از بار گسترده وارد بر آن با در نظر گرفتن یک عرض یک متری از دال برابر است با:

بدیهی است چنانچه لنگر وارده بر این مقطع مستطیلی با عرض 1000 میلی متر و ارتفاع 200 میلی متر برابر لنگر ترک خوردگی گردد، دال تحت خمش ترک می خورد.

تحلیل دقیق ناحیه الاستوپلاستیک

همانطور که در قسمت های اول آموزش توضیح دادیم، مقطع در انتهای ناحیه الاستیک و با افزایش لنگر خمشی در آستانه ترک خوردگی قرار می گیرد و بعد از آن با افزایش لنگر، ترک خوردگی بیشتر می شود.

با توجه به اینکه ناحیه ای از بتن که تحت اثر خمش دچار ترک خوردگی می شود در تحمل تنش های وارده نمی تواند سهمی داشته باشد، بنابراین از اثر آن در محاسبات صرف نظر می شود.

با این توضیحات در این حالت مقطع تبدیل یافته تیر و همچنین نمودار تنش و کرنش به صورت زیر در نظر گرفته می شود:

در این حالت برای یافتن محل محور تار خنثی با توجه به مفهوم لنگر اول سطح در مقاومت مصالح داریم:

با کمی ساده سازی، می توان برای محاسبه از رابطه زیر استفاده کرد:

در ادامه ممان اینرسی مقطع در این حالت نسبت به محور خنثی و کنترل های مربوط به تنش با توجه به توضیحات ابتدای فصل عبارت است از:

I_cr_:ممان اینرسی مقطع ترک خورده با در نظر گرفتن اثر آرماتورها.

همانطور که مشاهده می شود رفتار تیر در ناحیه الاستوپلاستیک نیز همچنان خطی می باشد. در انتهای این ناحیه و با افزایش بیشتر مقدار لنگر خمشی، رفتار تیر از حالت الاستیک خارج می شود.

لنگر انتهای این ناحیه نقطه C که خواندیم، لنگر الاستیک نامیده شده و با M_y نمایش داده می شود.

بررسی چند نکته

همانطور که در روابط مشاهده شد مقدار عمق محور خنثی در حالت الاستیک و الاستوپلاستیک مستقل از بارگذاری بوده و براساس هندسه مقطع بدست می آید.
کنترل های مربوط به حالت بهره برداری، یعنی کنترل های ترک خوردگی و تغییر مکان با در نظر گرفتن رفتار خطی و با لحاظ اثر ترک خوردگی بتن تحت کشش، یعنی حالت الاستوپلاستیک انجام می شود.
به دلیل حذف بخشی از مقطع کششی در اثر ترک خوردگی در حالت الاستوپلاستیک عمق محور خنثی در این حالت کمتر از حالت الاستیک می باشد.

مثال: تیری با ابعاد مقطع b=300 mm و h=500 mm و d=430 mm با آرماتور کششی 3φ25 مفروض است. در صورتی که نوع بتن از رده C25 و نوع فولاد S400 و نسبت مدول الاستیسیته فولاد به مدول الاستیسیته بتن n=8 فرض شود. ممان اینرسی مقطع ترک خورده با در نظر گرفتن اثر آرماتورها بر حسب mm⁴ به کدامیک از مقادیر زیر نزدیک تر است؟

1. 1260 2. 1560 3. 1860 4. 960

حل: همانطور که گفته شد در صورتی که مقدار ممان اینرسی مقطع ترک خورده و با در نظر گرفتن اثر آرماتورها مورد سوال باشد، با استفاده از خصوصیات مقطع در حالت الاستوپلاستیک و با استفاده از روابط زیر خواهیم داشت:

مثال: در یک ساختمان با سازه بتن آرمه و سیستم های قاب مهار نشده، یکی از تیرهای اصلی دارای مقطع عرضی bxh=400×600 mm، عمق موثر 530 mm و آرماتورهای کششی 4φ28 می باشد. بتن سازه از رده C30 و نسبت مدول الاستیسیته فولاد به بتن 10 فرض می شود. نسبت ممان اینرسی مقطع ترک خورده با در نظر گرفتن آرماتورهای کششی (I_cr) به ممان اینرسی مقطع ترک نخوره بدون در نظر گرفتن آرماتورها (I_g) به کدام گزینه نزدیک تر است؟

1)0.35 2)0.5 3)0.7 4)1.5

حل: برای محاسبه ممان اینرسی مقطع ترک خورده با در نظر گرفتن آرماتورها، با استفاده آنچه گفته شد داریم:

بنابراین گزینه 2 صحیح است.

مثال: در مثال قبل با ثابت ماندن مساحت آرماتورها، نوع میلگرد ها از S340 به S400 تغییر کند ممان اینرسی I_cr چند برابر می شود؟

1)1.17 2)1.27 3)1.37 4)1

حل: یا تغییر جنس آرماتور و ثابت ماندن مساحت آرماتورها، مقدار پارامترهای و I_cr ثابت می ماند و گزینه 4 صحیح است. دقت شود مقدار E_s برای فولادهای S340 و S400 یکی است.

مثال: در مقطع تیر بتن آرمه با عرض 300 میلی متر و عمق موثر 600 میلی متر و فقط با فولاد کششی بر اثر اعمال لنگر خمشی M، تنش فشاری بتن در دورترین تار فشاری برابر 10 Mpa و محل تار خنثی تا دورترین تار فشاری 200 میلی متر است. با فرض رفتار خطی برای مصالح و مقطع ترک خورده، مقدار M حدودا چند kN.m است؟

1)180 2)160 3)120 4)80

حل: با توجه به توضیحات سوال مقطع در حالت الاستوپلاستیک قرار دارد، بنابراین: